Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA
LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
•

Cho n là một số nguyên dương. Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích
an = a.a........a ( n thừa số)

của n thừa số a

n

•

Ta gọi a là cơ số, n là số mũ của lũy thừa a n .

•

Với a  0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm thì lũy thừa bậc n của a là số a n xác định
bởi a0 = 1; a− n =

1
.
an

•

Chú ý rằng: 0 0 và 0 − n không có nghĩa

•

Cho a  0 và số hữu tỉ r =

m

m
; trong đó m  ; n  , n  2 . Khi đó ar = a n = n a m .
n

2. Một số tính chất của lũy thừa
•

Với a , b  0 và m , n  , ta có:
 am .an = an+ m ;


( a.b )

 a

•

−n



am
= am−n ;
n
a
m

m

= a .b
m

(

1
= n n
a

a
am
   = m;
b
b

m

*

);

m
n

(a )
m

a
  
b

(

 a = n am a  0, m  , n 

*

n

−m

= a m.n ;
m

b
=  ;
a

)

Với a  1 thì a m  an  m  n . Còn với 0  a  1 thì a m  an  m  n .

• Với mọi 0  a  b , ta có a m  bm  m  0 ;
3. Căn bậc n
•



am  bm  m  0 .

Định nghĩa: cho số thực b và số nguyên dương n (

Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

CH       6: B   I. QUY T  C XÉT D  U VÀ CÁC B  C  1) Quy t  c xét d  u bi  u th  c     xét d  u cho bi  u th  c   p(x) g(x)   q(x)  =   ta làm như sau:     Bướ c 1:    u ki    q(x)   0   Tìm t  t c    các nghi  m c  a   p(x); q(x)   và sắ p x  p các nghi    t    tăng dần và điề n vào tr   Ox .     Bướ c 2:   Cho x         xác đị nh d  u c  a   g(x)   khi   x        Bướ c 3:   Xác đị nh d  u c  a các kho  ng còn l  i d  a vào quy t   Quy t  c:   Qua nghi  m b  i l    thì   g(x)    i d  u còn qua nghi  m b  i ch  n thì   g(x)   không đổ i d  u. (ch  n gi   nguyên, l     i d  u).  Ví d  :   Xét d  u các bi  u th  c 4 2 (x   4).(x   5) f (x)   (x   2)(x   1)      =   +   +     Bướ c 1:   Ta th  y nghi  m c  a bi  u th  c trên là   2;   1; 4;5       sắ p x  p th    t    tăng dầ n trên tr  .     Bướ c 2:   Khi   x      (ví d    cho x = 10000) ta th  y   f(x)   nh  n giá tr    dương.     Bướ c 3:   Xác đị nh d  u c  a các kho  ng còn l  i. Do   4 (x   5)    mũ chẵ n (nghi  m b  i ch  n) nên qua 5 bi  u th  c không    i d  u, do   1 (x   4)    mũ lẻ   (nghi  m b  i l  ) nên qua 4 bi  u th  i d  c b  ng xét d  u c  a   f(x)   như sau:  x         2      4   5   +    f(x)   +   0      0      0   +   0   +  2) Các d  ng b  c    ng 1:   2 f (x)   g(x)   f (x)   g(x)   0 >      >       ng 2:  2 f (x)   0 g(x)   0 f (x)   g(x)   f (x)   0 g(x)   f (x)     <         <           >   II. B   Xét b    x a   b, (a   0, a   1) >   >        N  u   b   0    thì t  p nghi  m c  a b    S   =     vì   x a   0(   x   ) >             N   - V  i a > 1 thì b    x a a   b   x   log b >      >  - V  i 0 < a < 1 thì b  t p hương trình   x a a   b   x   log b >      <III. MỘ T S    D    B  P      cùng cơ số  Xét b    f (x )   g(x ) a   a >     N  u a > 1 thì   f (x )   g(x ) a   a   f (x)   g(x) >      >   (cùng chi  u khi a > 1)     N  u 0 < a < 1 thì   f (x )   g(x ) a   a   f (x)   g(x) >      <   (ngượ c chi  u khi 0 < a < 1)     N  u a ch  a    n thì   [   ] f (x )   g(x ) a   a   (a   1) f (x)   g(x)   0 >            >   (ho  ng h  p c  ).  Ví d    1: Gi   t phương trình sau: a) x   x   x   x    +                                       2   2 8   17   11   7 5 1   1 3   3   b) x   x x +                 2 1 1   2 4  L  i gi  i  a) Do   >   <  1 0   1 3   nên BPT   x   x   x   x   x   x       +                  +    2   2   2 8   17   11   7   5   9   12   4   0 ( x   )   x             = 2   3 3   2   0   2 V  y nghi  m c  a BPT là x   =   3 2  b) ĐK:   x    1. BPT   (   )   x   x x   x x   x     +   +       >      >  2   2 2   2 1   1 2   2   2   2 Do 2 > 1 nên BPT   x x   x   x   x x   x   x x   x   x  < −  +    >      +   <      <      < +   +   +     2   2 2   2   2   4 2   2   0   0   1   0 1   1   1 V  y nghi  m c  a BPT là   (   ) x   ;   (   ; )     2   1 0  Ví d    2: Gi   t phương trình sau: a)   (   )   (   ) x   x x   x     +    + +   <     3   1 1   3 10   3   10   3   b)   x x   x       2 1 2 1   2 2  L  i gi  i  a) ĐK:   x   , x    =≠ − 1   3  Do   (   ) (   )   (   )   (   )    +      =         =   +   1 10   3   10   3   1   10   3   10   3  Khi đó BP T   (   )   (   ) x   x x   x   x   x   x   x x   x   x   x     +    +      +      +    +   <   +      < −      +   <    +      +  3   1 1   3   3   1   3   1 10   3   10   3   0 1   3   1   3 x (x   )(x   )      <    +  2 2   5   0 1   3   . L  p b  ng xét d  c   3   x   5 1   x   5     <   < −    <   V  m là   (   )   (   ) ;   ;        3   5   1   5

Chuyên đề trắc nghiệm bất phương trình mũ

CH       5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  D    B      Khái ni  m:  Là phương trình có dạng   (   )   (   ) log   log   ,   (1) = a   a f   x   g   x  trong đó   (   ) f   x   và   (   ) g   x   là các hàm số   chứ a      x   cần giải.     Cách gi  i:  -    0;   1 ( )   0 ( )   0  >        >     >   a   a  f   x g x  -   Biến đổi (1) về   các dạng sau:   (1)      ( )   ( ) 1  f   x   g x a  = =     Chú ý:  -   V  i d    (   ) log   ( )   a b a   f   x   b   f   x =      =  -    a b  c ch  n:   2  log   2   log n a   a x   n   x =   , n  u x   > 0 thì   n log   n a   a x   log x =  - V  c v    d  ng   (   )   (   )   (   ) (   )   (   )   2 0 g   x f   x   g   x   f   x   g   x     =      =             -   Các công thức Logarit thường sử   d  ng:   (   )  log log   ; log   log   log   ;   log   log   log 1 log   log   ;   log   log  =   =     =   +   =            =   =  a n x x a a   a   a   a   a   a m a   a a b a   x   a   x x xy   x   y   x   y y m x   x   b n   a  Ví d    1:   Gi  i các   phương trình sau:  a)   (   ) 2 2 log   2   3. x   x +   +   =   b)   (   )   (   ) 3   3 log   2   1   log   3   2. x   x +   +      =  L  i gi  i:  a)   Ta có:   2   2   2 2   8   6   0   3  x PT   x   x   x   x   x  =     +   +   =      +      =      = −   V    - 3}.  b)      3 x   >   . Khi đó   (   )(   )   2  3   3 PT   log   2   1   3   log 9   2   5   3   9    +      =            =         x   x   x   x  2 4  2   5   12   0   3  2  x x   x   x  =            =       =    .  Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là   x   = 4.Ví d    2 :   Gi  i các phương trình sau:  a)   (   ) 2   2 log   4   3   2 log   . x   x +   =      b)   (   )   (   ) 8   2  3log   2   log   3   2   7   0. x   x       +   +   =  L  i gi  i:  a)      0 x   >   . Khi đó   (   )   (   ) 2   2   3   2  2   2   2 PT   log   4   log   3   log   4   3   4   8        +   +   =      +   =      +   =     x   x   x   x   x   x  (   )   (   ) 2 2  2   2   4   0   1   5 1   5  x x   x   x   x x  = −      +   +      =      = − +    = − −    .  Kết hợ p      0 x   >   . Vậ y   phương trình đã cho   có nghiệm duy nhất là   1   5 x   = − +  b)      2 x   >   . Khi đó   (   )   (   ) 3   1  2 2   2  PT   3log   2   log   3   2   7   0          +   +   = x   x  (   )   (   )   (   )   (   ) (   ) (   )   (   )   (   )   (   )  2   7  2   2   2   2   2 2   2 2   2  log   2   2 log   3   2   7   0   log   2   log   3   2   log 2   0 10 128   2 log   0   128   2   3   2   9   116   260   0   /   . 26  3   2   9           +   +   =            +   +   = =         =         =   +         +   =      =  +     x   x   x   x x x   x   x   x   x   t   m  x x V  y   nghiệm của phương trình   là   26  10;   . 9  =   = x   x  Ví d    3 :   Gi  i các phương trình sau:  a)   (   ) 2 log   1   1 x x      =           b)   (   ) 2   2 log   log   1   1 x   x +      =  c)   (   ) 2   1  8  log   2   6 log   3   5   2 x   x          =   d)   (   )   (   ) 2   2 log   3   log   1   3 x   x    +      =  L  i gi  i:  a)      (   ) 1   0   1;   0 x x   x   x    >      >   <   .  Ta có:   (   )   2  1   2   2   0   1;   2 PT   x x   x   x   x   x       =            =      = −   = V    1;   2. x   x = −   =  b)      1 x   >   .  Ta có phương trình tương đương với   (   )   2 2 log   1   2   2   0   1;   2 x x   x   x   x   x    =            =      = −   =          V    1;   2. x   x = −   =  c)      2 x   >   .  Ta có:   (   )   (   )   (   )(   )   2 2   2 2  log   2   log   3   5   2   2   3   5   4   3   11   6   0   3;   3  PT   x   x   x   x   x   x   x   x       +      =            =         +   =      =   =   u v    3. x   =  d)      3 x   >   .  Ta có:   (   )(   )   2  3   1   8   4   5   0   1;   5 PT   x   x   x   x   x   x          =            =      = −   =

Chuyên đề trắc nghiệm phương trình logarit

CH       1: CÔNG TH  A I. KHÁI NI  A  1. Lũy thừ a v  i s    mũ nguyên  Lũy thừ a v  i s    mũ nguyên dương.  Cho   a         và   *  n         . Khi đó   . . .... n a   a a a   a =   ( n   thừ a s    a ).  Lũy thừ a v  i s    mũ nguyên âm,   lũy thừ a v  i s    mũ 0  Cho   { } \ 0 a         và   *  n         . Ta có:   0 1 ;   1 n n a   a a     =   =   .  Lũy thừ a v  i s    mũ nguyên có các tính chất tương tự   tính chất của lũy thừ a v  i s    mũ nguyên dương.  Chú ý:   0 0   và   (   ) *  0   n   n          không có nghĩa.  2. Căn bậc n  Cho số   thực   b   và s    nguyên dương   2 n      .  S    a      n   củ a s    b   nếu   n a   b =   .  Khi   n   l    b         n   củ a s    b   là   n   b   .  Khi   n   chẵn và   0 b   <   thì không tồn tại căn bậc   n   củ a s    b.  Khi   n   chẵn và   0 b   =   thì có duy nhất một căn bậc   n   củ a s    b   là   0   0 n   =   .  Khi   n   chẵn và   0 b   >   có 2 căn bậc   n   củ a s    thực   b   là   n   b và   n   b    .  3. Lũy thừ a v  i s    mũ hữu tỷ  Cho số   thực   0 a   >   và s    hữu tỷ   m r   n  =   , trong đó   ;   ,   2 m   n   n              . Khi đó  m n r   m n a   a   a =   =   .  4. Lũy thừ a v  i s    mũ vô tỷ  Gi    s    a   là m    dương và     là m    vô tỷ   và   (   ) n r   là m    hữu tỷ   sao cho   lim   n n   r      =   . Khi đó  lim   n r n   a   a      =   .  II. TÍNH CH  T C  A V  I S    MŨ THỰ C  Cho hai số   dương   a ;   b   và   ; m   n         .   Khi đó ta có các công thức sau.  Nhóm công th  c 1   Nhóm công th  c 2  1.   . m   n   m   n a   a   a   + =  2.   1  0  m m   n   n n   n a   a   m   a a   a          =   =      =         3.   (   )   . n m   m n a   a = 1.   (   )  m   m n   m   n n a   a   a =   = 2.   (   ) .   ,   .  n n   n   n   n   n a   b   ab   a   b   ab =   = 3.   ,  n n   n n n   n a   a   a   a b   b   b b      =   =             Tính chất 1:   (   ) 0   1   0 a   a =      và   1  a   a =   .   Tính chất 2   (tính đồng biến, nghịch biến):   1;  0   1:  m   n m   n a   a   a   m   n a   a   a   m   n     >   >      >    <   <   >      <  .     Tính chất 3   (so sánh lũy thừa khác cơ số ) :   V  i   0 a   b >   >   thì   0 0  m   m m a   b   m a   b   m     >      >    <      <  .  Ví d    1:   Cho biểu thức   3   2   3  .   . P   x   x   x =   , vớ i   0 x   >   . Mệnh đề   nào sau đây là     A.  13 12  P   x =   .   B.  13 24  P   x =   .   C.  13 6  P   x =   .   D.  13 8  P   x =   .  L  i gi  i  Ta có:  7   13 3   7   13 3   3 3   2   3   2   6   6 2   2   12  .   .   .   .   .   . P   x   x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x =   =   =   =   =   =   .   Chọn A.  Ví d    2:   Bi    2 3  .   .   n x   x   x   x =   v  i   0 x   >   . Tìm   n .  A.   2 n   =   .   B.   2 3  n   =   .   C.   4 3  n   =   .   D.   3 n   =   .  L  i gi  i  Ta có:  5   1   5   4 1   1   1   5   1 3   3 2   2 3   6   2   6   3 2   2   2   2   2  .   .   .   .   .   . x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x  + =   =   =   =   =   .   Chọn C.  Ví d    3:   Cho biểu thức   3   2   3  .   . k P   x   x   x =   ,   v  i   0 x   >   . Biết rằng  23 24  P   x =   , giá trị   củ a   k   bằng:  A.   6 k   =   .   B.   2 k   =   .   C.   3 k   =   .   D.   4 k   =   .  L  i gi  i  Ta có:  23   23   11 3   3   3 2   3   2   3   2   3 24   12   12  .   .   .   .   . k   k   k P   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x =   =      =      =  3 11   11   3 2 2   3   3 4   4   4  .   4 k   k   k x   x   x   x   x   x   x   k   =      =      =      =   .   Chọn D.  Ví d    4:   Cho biểu thức   (   ) 1   3 2   3   1   3 1   3  . a   a P   a  + +    + =   , vớ i   0 a   >   . Mệnh đề   nào sau đây là đúng?  A.   3  P   a =   .   B.   1  P   a  =   .   C.   P   a =   .   D.   3 1  P   a  =   .  L  i gi  i  Ta có:   (   )   (   ) (   )  1   3 2   3   1   3   1   3   1   3 2   3   2   3   2   3 1   3   1   3   1   3   1   3  .   .a   .a   1 a   a   a   a   a P   a a   a   a   a  + +         + +   +    +   +   +   + =   =   =   =   =   .   Chọn B.

Chuyên đề trắc nghiệm công thức lũy thừa

CH       9: BÀI TOÁN LÃI SU   II. CÁC D  I     BÀI TOÁN 1. CÔNG THỨC LÃI KÉP  Công th  c:   (   ) 1   n T   A   r =   +  A là s    ti  n g  u,  r là lãi su  t/k    h  n và   n   là s    k    h  n.  T   là t  ng s    ti  n c    g  c l  c.  Như vậ y s    ti  c là:   (   ) 1   n L   T   A   A   r   A =      =   +      .  Ví d    1:   [Đ    thi THPT Qu  c gia 2017] M      u đ      6%/năm. Biế t r  ng n  u không rút ti  n ra kh  i ngân hàng thì c    sau m    ti  n lãi s     c nh  p vào g    tính lãi cho năm tiế p theo. H  i sau ít nh  c s    ti  n nhi   tri  ng bao g  m c    g  c và lãi? Gi     nh trong su  t th  i gian, lãi su    không rút ti  n ra.  A.   13 năm   B.   12 năm   C.   14 năm   D.   11 năm  L  i gi  i  G  i   n   +       là s    năm cần để   có hơn 100 triệu đồ ng. Suy ra   (   ) 50 1   6%   100   11,9   12  n n   n +   >      >      =   năm.   Ch  n B.  Ví d    2:   [Đ    thi THPT Qu  c gia 2018] M  t ngư        t 7,5%/năm.  Biế t r  ng n  u không rút ti  n ra kh  i ngân hàng thì c    sau m    ti  n lãi s     c nh  p vào v    tính  lãi cho năm tiế p theo. H  i sau ít nh  t bao nhi  c (c    s    ti  n g  u và lãi) g  p     ti  n g  u, gi     nh trong kho  ng th  i gian này lãi su   ti  n ra?  A.   11 năm   B.   9 năm   C.   10 năm   D.   12 năm  L  i gi  i    ng công th  c lãi kép ta c    (   ) 1   n T   A   r =   +   trong đó   7,5%,   2 r   T   A =     Suy ra   (   )   1,075 1   7,5%   2   1, 075   2   log   2   9,58  n   n A   A   n +                     . V  y c  n ít nh    s    ti  c g    ti  u.   Ch  n C.  Ví d    3 :   [Đ    thi THPT Qu  c gia 2017]     u năm 2016, ông A thành l      n ông A  dùng để   tr    lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ    t r  ng c    sau m  ng s    ti  n  dùng để   tr    lương cho nhân viên trong cả   năm đó tăng thêm 15% so với năm trướ c. H  là năm đầ u tiên mà t  ng s    ti    tr    lương cho nhân viên trong cả   năm lớn hơn 2 tỷ    ng?  A.   Năm 2022   B.   Năm 2021   C.   Năm 2020   D.   Năm 2023  L  i gi  iT  ng s    ti    lương cho nhân viên sau   n   năm là:   (   )   (   ) 0   1   1 1   15%  n   n T   T   r =   +   =   +  Gi  i   (   ) 1   15%   2   4,95   5  n n   n +               =   .   Ch  n B.  Ví d    4 :   [Đ    thi      GD&ĐT Hà N  i năm 2017] Ông   Vi            su  t 6,5% m  t r  ng, c    sau m    ti  n lãi s     c nh  p vào v  u. Tính s    ti  n t  i thi  u   x   (tri  ng,   x        t g    sau 3 năm số   ti    mua m  t chi  c xe g  n máy tr    giá 30 tri  ng.  A.   150 tri  ng   B.   154 tri  ng   C.   145 tri  ng   D.   140 tri  ng  L  i gi  i  Công th  c lãi kép   (   ) 1   n T   A   r =   + Ti  n lãi ông Vi    là ti  n g  c l  n lãi tr       ti  n g  u  Ta có:   (   )   (   )  3 3 30 1   6,5%   30   144, 26 1   6,5%   1  A   A   A +                +      tri  u.   Ch  n C.  Ví d    5 : Sau m       An có s    u đ     An chia s    và g  i      hai ngân hàng Agribank và Sacombank theo phương thứ c lãi kép. S    ti  n      ph  n th    nh  t ch    An  g  i      ngân hàng Agribank vớ i lãi su  t 2,1% m  t quý trong th  i gian 18 tháng. S    ti  n      ph  n th    hai ch    An  g  i      ngân hàng Sacombank v  i lãi su  t 0,73% m  t tháng trong th  i gian 10 tháng. T  ng s    ti  n lãi thu   c      hai ngân hàng là 50,01059203 tri  ng. H  i s    ti  n ch    An đã gử i      m   Sacombank là bao nhiêu?  A.   280 tri  u và 170 tri  u   B.   170 tri  u và 280 tri  u  C.   200 tri  u và 250 tri  u   D.   250 tri  u và 200 tri  u  L  i gi  i  G  i   , x   y   (tri  ng) l  t là s    ti  n mà ch    An gửi vào ngân hàng Agribank và Sacombank.  S    ti  n lãi mà ch    An nhận đượ c khi g  i ti    (   ) 6 1   . 1   2,1% t   x   x =   +      tri  u. S    ti  n lãi mà ch    An nhận đượ c khi g  i ti  n vào ngân hàng Sacombank là   (   ) 10 2   . 1   0, 73% t   y   y =   +      tri  u.  Khi đó, ta có hệ   phương trình   (   )   (   )  6   10 450   280 170 . 1   2,1%   . 1   0, 73%   500, 010592  x   y   x y x   y  +   =    =            = +   +   +   =       .   Ch  n A.  Ví d    6 :   [Trích đ    tham kh  o c  a b    GD&ĐT năm 2018] M    ng     u đ   hàng v  i lãi su  t r  ng n  u không rút ti  n ra kh  i ngân hàng thì c    sau m  i tháng, s    ti  n lãi s     c nh  p vào v    tính lãi cho tháng ti  p theo. H   s    ti  n (c    v  u và lãi) g  n nh  t v  i s    ti  u trong kho  ng th   không rút ti  n ra và lãi su  t   không thay đổ i?  A.   102.424.000 đồ ng   B.   102.423.000 đồ ng

Bài toán lãi suất và tăng trưởng

CH       4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ  I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  1) Phương trình mũ cơ bản  Phương trình:   x a   b =   (v  i   0;   1 a   a >      ) V  i   0 b   >   , ta có   log x a a   b   x   b =      = V  i   0 b      , phương trình đã cho vô nghiệ m.  2) Các phương pháp giải phương trình mũ  Phương pháp 1. Đưa về   cùng cơ số  N  u   1   0 a    >   thì phương trình:   (   )   (   )   (   )   (   ) f   x   g x a   a   f   x   g   x =      =  Phương trình dạng:   (   )   (   ) f   x   g x a   b =   , v  i   (   ) .   1 1   ;   0 a b   a b =      >   ta sẽ   giải như sau:  (   )   (   )   (   )   (   ) (   )   (   ) (   )   (   ) 1   (   ) 1   g x   g x f   x   g x   f   x   g x a   b   a   a   a   f   x   g   x a          =      =   =   =      = −          II. CÁC D  I  Ví d    1: Gi  i các phương trình sau:  a)   2   1   2   1 3   3 x   x   x    +    =   b)   (   )   1 5   7   2 1,5   3  x x  +        =          L  i gi  i  a) Ta có:   2   1   2   1   2   2   1 3   3   1   2   1   3   2   0   2  x   x   x   x x   x   x   x   x   x     +      =  =         +   =            +   =      =  V  m là   1;   2 x   x =   =  b) Ta có:   (   )  5   7 1   1   1   5   7 5   7   2   3   3   3 1,5   3   2   2   2  x x   x   x x   +   +         +                              =      =   =                                                          1   5   7   6   6   1 x   x   x   x    +   = −   +      =      =  Ví d    2: Gi  i các phương trình sau:  a)   1   2   1 2   2   2   5   2.5 x   x   x   x   x +   +    +   +   =   +   b)   (   )   (   )   1 1   1 5   2   5   2  x x   x      + +   =     L  i gi  i  a)   2   5   7 2   2.2   4.2   5   2.   7.2   .5 5   5  x x   x   x   x   x PT      +   +   =   +      =  2 5 2   1   2   1   1  log  5   5   5   5   5  x x x   x         =      =      =         b) Do   (   ) (   )   (   )   (   )   1 5   2   5   2   1   5   2   5   2    +      =      +   =   Do đó   (   )   (   )   (   )   (   )  1   1 1 1   1 1   1 5   2   5   2   5   2   5   2  x   x x   x x   x PT           +   +           =      =      =              (ĐK   1 x      ) 2   2   1 1 1   1   1   2   0   2 1  x x x   x   x   x   x   x x  =         =         =         +      =      = − +    V    1;   2 x   x =   = −   .  Ví d    3 : Gi  i các phương trình   1   2   1 2   2   2   5   2.5 x   x   x   x   x +   +    +   +   =   +  L  i gi  i  Ta có   1   2   1   2   1 2   2   2   5   2.5   2   2 .2   2 .2   5   2.5 . 5  x   x   x   x   x   x   x   x   x   x +   +    +   +   =   +      +   +   =   +  (   )   5 2 2   7   5  1   2   4 2   1   .5   7.2   .5   5   log   5  5   5   2  x x   x   x   x   x               +   +   =   +      =      =      =                     V  hi  m là   5 2  log   5 x   =   .  Ví d    4 : Gi  i các phương trình sau  a)   2   3   2   1 2   16 x   x   x +      + =   b)   2   4   1 3   243  x   x    +   =  L  i gi  i  a)   2   2 3   2   1   3   2   4   4   2   2   2 2   16   2   2   3   2   4   4   6   0   3  x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x  +      +   +      +   =  =      =      +      =   +            =      = −   V  m là   2 x   =   và   3 x   = −   . b)   2   2 4   4   5   2   1 1 3   3   3   4   5   5 243  x   x   x   x   x x   x   x     +      +      = −  =      =      +   = −      =  V  m   1;   5 x   x = −   =  Ví d    5 : Gi  i các phương trình sau  a)  10   5 10   15 16   0,125.8  x   x x   x  +   +     =   b)   (   ) 2   2   2   2 1   1   2 5   3   2 5   3 x   x   x   x +          =     L  i gi  i  a) Điề u ki    10   0   10 15   0   15  x   x x   x                             Do   4   3   3 1 16   2 ;0,125   2   ;8   2 8   =   =   =   =   nên ta có  10   5 4.   3. 3 10   15   10   5 2   2 .2   4.   3   3. 10   15  x   x x   x   x   x PT   x   x  +   +        +   +    =      = −   +      (   )   (   ) 2   0 4   10   60   5   150   15   150   20 10   15  x x   x   x   x   x x   x  = +       =            =         =        V  m   0;   20 x   x =   =   .

Chuyên đề trắc nghiệm phương trình mũ

CH       10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1. Công th  c lôgarit  Gi    s    0,   1 a   a >      và các s    A, B, N,...   > 0 ta có các công th      (   ) log   log   log a   a   b AB   A   B =   +   .  M    r  ng   (   ) 1   2   1   2 log   ...   log   log   ...   log a   N   a   a   a   N A A   A   A   A   A =   +   +   +   .     log   log   log a   a   a A   A   B B   =      .   H    qu    1 log   log a   N N   = −   .     log   .log a   a N   N      =     1 log   .log n a   a N   N n  =  Công th  :   Gi    s    a, b   dương và khác 1;   ,   0 c   x   >   ta có     log   .log   log a   b   a b   c   c =   và   1 1  log   ; log   log  log  a   a b   a b   x   x a  =   = −   .     1 log   log a a   x   x      =   và log   .log n   a a   x   n   x =   .  2. Tìm giá tr    l  n nh  t, giá tr    nh    nh  t c  a hàm s    y = f(x)   trên   D( f(x)   xác đị nh và liên t  c trên   D )  Phương pháp giả i  -   Bướ c 1:   Tính   (   ) y   f   x     =   , tìm t  t c    các nghi  m   i x   c  a   phương trình   (   )   0 f   x    =   và các điể m   i     làm cho  (   ) f   x    không xác đị nh.  -   Bướ c 2:     Trườ ng h  p 1:   [   ] ; D   a b    . Tính các giá trị   (   )   (   )   (   )   (   ) ,   ,   , i   i f   a   f   b   f   x   f     . V  i   [   ]   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) {   } (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) {   }  min   min   ,   ,   ,  ,   ;   max   max   ,   ,   ,  i   i D i   i i   i D f   x   f   a   f   b   f   x   f x   a b   f   x   f   a   f   b   f   x   f        =         =   .     Trườ ng h  p 2:   [   ] ; D   a b        L  p b  ng bi   Chú      Giá trị   l  n nh    nh    nh  t c  a hàm s     n   [   ] ; a b   . N  u hàm s    (   ) y   f   x =    ng bi  n v  i   [   ]   [   ]   (   )   [   ]   (   ) ;   ; ;   min   ; max  a b   a b x   a b   y   f   a   y   f   b       =   =   . N  u hàm s    (   ) y   f   x =   ngh  ch bi  n v  i   [   ]   [   ]   (   )   [   ]   (   ) ;   ; ;   min   ; max  a b   a b x   a b   y   f   b   y   f   a       =   =   .  3. Các b  ng th  c quen thu  c  a) B  ng th  c AM – GM cho hai s    th    2 a   b   ab +      .M    rộ ng b  ng th  c AM – GM cho ba s    th  c d    3 3 a   b   c   abc +   +      . b) B  ng th    (   )   (   )(   ) 2   2   2   2   2  ab   cd   a   c   b   d +      +   +   . c) B  ng th  c   (   ) 2 2   2   x   y x   y a   b   a   b  + +      +   .  Ví d    1:   Cho   (   ) 3 log a m   ab =   , v  i   ,   1 a b   >   và   2 log   16 log a   b P   b   a =   +   . Khi bi  u th  c   P      nh    nh  t thì  giá trị   c  a   m   b  ng  A.   2 m   =   .   B.   1 m   =   .   C.   1 2  m   =   .   D.   4 m   =   .  L  i gi  i:  Ta có:   (   ) 2 2   16 log   16 log   log   log  a   b   a a P   b   a   b   b  =   +   =   +   t   log a t   b =   vì   ,   1   log   0 a a b   b   t >      =   >  Khi đó   2   2   2 3 16   8   8   8 8 .   .   12 P   t   t   t t   t   t   t   t  =   +   =   +   +      =   . D  u b    khi   2   8   2   log   2 a t   t   b t  =      =      =   . L  i có   (   )   (   )   (   )  1 3   3   1   1 log   log   log   1   log   1 3   3  a   a   a   a m   ab   ab   ab   b =   =   =   =   +   =   .   Ch  n B. Ví d    2:   Cho   x, y   là s    th  a mãn   (   ) 2 ln   ln   ln x   y   x   y +      +   . Tìm giá trị   nh    nh  t   min P   c  a bi  u th  c   P   x   y =   +   .  A.   min   6 P   =   .   B.   min   2   2   3 P   =   +   .   C.   min   3   2   2 P   =   +   .   D.   min   17   2 P   =   +   .  L  i gi  i:  Ta có   (   )   (   )   (   )   (   ) 2   2   2   2 ln   ln   ln   ln   ln   1 x   y   x   y   xy   x   y   xy   x   y   y x   x +      +         +         +            . Mà   ,   0 x y   >   suy ra   (   )   2 1   0   1   0   1 y x   x   x   x       >         >      >   . Khi đó   (   )   2 2 1   1  x y x   x   y   x                 .  Do đó, biể u th  c   (   ) 2   2 2 1   1  x   x   x P   x   y   x   f   x x   x   =   +   =   +       =       . Xét hàm s    (   ) f   x   trên khoả ng   (   ) 1;   +∞ , có   (   )   (   ) 2 2 2   4   1,   1 1  x   x f   x   x x     +    =          .  Phương trình   (   )   2 1   2   2 0   2 4   1   0  x f   x   x x   x  >    +    =         =       +   =   .

Bài toán min – max mũ và logarit

Ch       3: HÀM S    LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT  I.   HÀM S    LŨY THỪ A  1. Định nghĩa:   Hàm s    y   x   =   v  i   ,         c g  i là hàm s    lũy thừ a.  2. Tập xác đị nh  T  nh c  a hàm s    y   x   =   là:        v  i      nguyên dương     { } \ 0    v  i      nguyên âm hoặ c b  ng 0.     (   ) 0;   +∞   v  i     không nguyên.  3. Đạ o hàm  Hàm s    y   x   =   v  i        có đạo hàm vớ i m  i   0 x   >   và   (   )   1 '   . x   x        =  4. Tính chấ t c    lũy thừa trên khoả ng   (   ) 0;   +∞     0 y   x   =   >   (   ) (   ) 0; x    +∞        thị   hàm s    luôn đi qua điể m   (   ) 1;1     Khi   (   )   1 0   '   '   .   0 y   x   x         >      =   =   >   (   ) (   ) 0; x    +∞   hàm s    luôn đồ ng bi  n  Trong trườ ng h    0 lim   ; lim   0  x   x x   x    +     = +∞   =   do đó đồ   thị   hàm s    không có đường tiệ m c  n     Khi   (   )   1 0   '   '   .   0 y   x   x         <      =   =   <   (   ) (   ) 0; x    +∞   hàm s    luôn ngh  ch bi  n  Trong trườ ng h    0 lim   0; lim  x   x x   x    +     =   = +∞   do đó đồ   thị   hàm s    nh  c   Ox   là đường tiệ m c  n  ngang và trụ c   Oy   là đường tiệ m c  ng.  5. Đồ   th    hàm số   lũy thừa   =   a y   x   trên khoả ng   (   ) 0; +∞     thị   hàm s    = y   x   luôn đi qua điể m   (   ) 1;1 . I  Lưu ý:   Khi kh    lũy thừ a v  i s    mũ  c    thể, ta phải xét hàm số      tậ p xác   nh c  a nó. Ch  ng h  n: Hàm s  :   3  y   x =   (   ) . x       Hàm s  :   4  y   x  =   (   ) 0 . x    Hàm s  : 1 3  y   x =   (   ) 0 . x   >  II.   HÀM S    MŨ1. Định nghĩa  Cho số   thự c   0. 1  a a  >       Hàm s    x y   a =    c g  i là hàm s    mũ cơ số   . a  2. Tập xác đị nh  T  nh c  a hàm s    x y   a =   là :   D   =     Do   0; x y   a   x =   >         suy ra tập giá trị   c  a hàm s    x y   a =   là   (   ) 0; T   =   +∞  3. Đạ o hàm     (   ) (   ) (   ) (   )  ln ln   . '   . . '  x   x u   u   x   x u   u a   a   a a   a   a u   e   e e   e u       =      =   Công thứ c gi  i h  n:   0 1 lim   1.  t t e t     = V  i hàm s    x y   a =   t a có:   '   ln x y   a   a =     V  i   1 a   >   khi đó   '   ln   0. x y   a   a =   >   Hàm s    luôn đồ ng bi  n  Trong trườ ng h  p   1 a   >   ta có   lim   lim   0 x x   x y   a      =   =   do đó đồ   thị   hàm s    nh  c   hoành là tiệ m c  n ngang     V  i   0   1 a <   <   khi đó   '   ln   0. x y   a   a =   <   Hàm s    luôn ngh  ch bi  n  Trong trườ ng h  p   1 a   <   ta có   lim   lim   0 x x   x y   a      =   =   do đó đồ   thị   hàm s    nh   ngang  4. Đồ   th    hàm số   =   x y   a     thị   hàm s    =   x y   a   nh  c   Ox   là tiệ m c  n ngang và  luôn đi qua các điể m   (   ) 0;1   và   (   ) 1;   a     thị   hàm   s    x y   a =   n    phía   trên   trục   hoành  (   ) 0 x y   a   x =   >        III. HÀM SỐ   LOGARIT  1. Định nghĩa  Cho số   thự c   0. 1  a a  >       Hàm s    log a y   x =    c g  i là hàm s    lôgarít cơ số   . a  2. Tập xác đị nh     Hàm s  :   (   ) log   0   1 a y   x   a =   <      có tập xác đị nh:   (   ) 0; D   =   +∞

Chuyên đề trắc nghiệm hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

CH       2: CÔNG TH  C LOGARIT  1. Định nghĩa:   Cho 2 s    dương   , a b   v  i   1 a      . S      thõa mãn đẳng thứ c   a   b     =     s    a c  a b kí hi  u là   log a   b   . Như vậ y   log a a   b   b      =      =  Chú ý:  -   Không tồn tại Logarit củ a s        0. - Cho 2 s    dương   , a b   v  i   1 a      , ta có các tính chấ t sau:   log 1   0;log   1 a   a   a =   =  2. Các công th     c 1:   log   x a   a   x =   v  i   ;1   0 x   a       >     c 2:   (   ) log   log   log a   a   a x   y   xy +   =   v  i   ,   ,   0 x y a   >   và   1 a     log   log   log a   a   a x x   y   y     =   v  i   ,   ,   0 x y a   >   và   1 a     Chú ý:   V  i   ;   0 x y   <   và   0   1 a <      ta có:   (   )   (   )   (   ) log   log   log a   a   a xy   x   y =      +       c 3:   log   .log n a   a b   n   b =   và   (   )  1  log   .log   ,   0;   1 n   a a   b   b a b   a n  =   >     Như vậ y:   log   .log m n a a n b   b m  =   c 4:   (đổi cơ số )   log log   log  a b a c c   b  = Cách vi  t khác c  :   log   .log   log a   b   a b   c   c =   v  i   ; ;   0 a b c   >   và   ;   1 a b     H    qu  :   Khi cho a = c ta có:   1  log   .log   log   1   log   log  c   b   c   c b b   c   c   b   c  =   =      =   (gọi là nghịch đả o)  T  u s  :   1   2   1   1 2   3 log x .log   ......log   log   1 n x   x   x   n   x   n x   x   x    =   =   (v  i   1 1   ;....   0 n x   x    >   )    c 5:   log   log b   b c   a a   c =   v  i   ; ;   0 a b c   >   ;   1 b     3. Logarit thập phân, logarit tự   nhiên.   p phân:   Logarit cơ số   a = 10 gọ i   là logarit thập phân ký hiệ u:   log   (   0) x x   >   (   log   x    c hi  u là   10 log   x   ). Đọ c là L      Logarit tự   nhiên:   Logarit cơ số   2, 712818 a   e =      gọi là logarit tự   nhiên ký hiệ u:   ln   (   0) x x   >   .Đọc là len x hoặ c l    x    c hi  u là   ln e   x   )  D  NG 1. S    D  NG CÔNG TH  C LOGARIT Ví d    1:   Cho s    th    0   1 a <      . Tính giá trị   c  a bi  u th  c 3   5 2   2   4 15   7 .   .  log a a   a   a T   a      =              A.   3 T   =   B.   12 5  T   =   C.   9 5  T   =   D.   2 T   =  L  i gi  i  Ta có: 2   4 2   2   4   7 3   5 2   2   4   3   5   2   3 3   5   15 7 15   7 15 .   .  log   log   log   log   3 a   a   a   a a   a   a   a T   a   a a   a  +   + +   +        =   =   =   =   =             .   Ch  n A  Ví d    2: Cho các s   c a, b, c thõa mãn   1   , ,   0 a b c    >   và các kh  ng đ  nh sau  (1)  3  log   3   log a   a a   b b                 (2)   5 5  log   log  2   a a   b   b = (3)   (   ) log   log   .log a   a   a b   c   b   c +   =   (4)   log   log   log bc   b   c a   a   a =   +  S    kh   A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  L  i gi  i  Ta có: 3 3  log   log   log   3   log a   a   a   a a   a   b   b b           =               (1)     5   5 1 2   1 1   1  log   log   .   log   log  5 2   10  a   a a   a b   b   b   b =   =   =      (2) sai  (   ) log   log   .log a   a   a b   c   b   c +         (3) sai  1   1   1  log   1   1 log   log   log log   log  bc a   a   a b   c a   bc   b   c a   a  =   =   =    +   +  (4) sai  V  y có 1 kh     .   Ch  n A. Ví d    Cho các s    th  c a, b, c thõa m    1   , ,   0 a b c    >   và các kh  ng đ  nh sau  (1)   (   ) 3 log   3   3log a a   ab   b =   +   (2)   4 6  log   log   2 log a   a a b   b   b +   = (3)   1  ln   ln   ln  2  a   a   b b   =      (4)   (   ) log   log   log a   a   a b   c   b   c +   =   +  S    kh   A.   1   B.   2   C.   3   D.   4  L  i gi  i  Ta có:   (   )   (   )   (   ) 3 1   1   1   1  log   log   log   log   log  3   3   3   3  a   a   a   a a   ab   ab   a   b   b =   =   +   =   +      (1) sai  4 1 6   2   6   1   3  log   log   log   log   log   log   2 log  4   2   2  a   a   a   a   a   a a b   b   b   b   b   b   b +   =   +   =   +   =      (2) đúng

Chuyên đề trắc nghiệm công thức logarit

CH       7: B   1) B   Xét b    a log x   b(a   , a   ) >   >    0   1     N  u   a   >   1   thì   b a log x   b   x   a >      >     N  u   a <   < 0   1   thì   b a log x   b   x   a >      <   < 0  2) C  p      cùng cơ số  Xét b    a   a log f (x)   log g(x) >   (a   , a   ) >    0   1     N  u   a   >   1   thì   a   a log f (x)   log g(x)   f (x)   g(x) >      >   (cùng chiều khi a > 1)     N  u   a <   < 0   1   thì   a   a log f (x)   log g(x)   f (x)   g(x) >      <   (ngược chiều khi   a <   < 0   1)   N  u   a   chứ a      [   ] a   a  f (x)   ;g(x) log f (x)   log g(x)   (a   ) f (x)   g(x)  >   >   >            >    0   0 1   0 (hoặc chia 2 trường hợp củ a   cơ số)  Ví d    1:   Gi  i các b  t phương trình sau:  a)   log (   x)   log   (x   )    <   +   + 5   5 1   2   1   1   b)   log (   log x)    < 2   9 1   2   1  L  i gi  i  a)   log (   x)   log   (x   )    <   +   + 5   5 1   2   1   1   (1)     x   x   x x   x      >   <           <     +   >       > −   1 1   2   0   1 1 2 1   0   2 1  Khi đó (1)   log (   x)   log   log (x   )   log (   x)   log   (x   )           <   +   +         <   +      2 5   5   5   5   5 1   2   5   2   1   1   2   5   1  x x   (x   x   )   x   x x        + >         <   +   +      +      >          <    2   2 6   2 14 5 1   2   5   2   1   5   12   4   0   6   2 14 5 K  t h  p v  a b    x     +   <   <  6   2 14   1 5   2  b)   log (   log x)    < 2   9 1   2   1   (2)     x   x   x   x log x   log x   x  >   >   >                 <   <           >      >   <      9   3 0   0   0   0   3 1   2   0   1   0   3  (2)   log x   log x   log x   x       <         <      > − ⇔   > 9   3   3 1 1   2   2   1   2   1   3  K  t h  p v  m   củ a b    x <   <  1   3 3Ví d    2:   Gi  i các b  t phương trình sau:  a)   x x log   log (   )             2   4   6   1   b)   x x log   x                 2   1   1 1  L  i gi  i  a) Điều kiện:   x   x   log    >      >   4 4   6   0   6  V    x   log >   4   6   ta có:   x   x   x   x x log   log (   )   log (   )   x              <            <      <     2   2 4   6   1   0   4   6   1   4   6   2  x   x   x x x   log x   log x   log     <       <      <   <                     > > >        2 4 4 3 4   2   6   0   2   2   3 7 7 4   7 V    x   log <   < 4   2 7   3  b) ĐK: x   x x   x x     >   >                    >   <   <          1   0   1 2   1   1 0   0 1   2  TH1 : Với x > 1: BPT   x   x   x   x   x   x   x   x x        +    >         >            +   <      <   <   2   2 2   1   3   5   3   5 2   1   3   1   0 1   2   2  K  t h    x   + <   <   3   5 1   2  TH2 : Với   x <   <   1 0   2   : BTP   x   x   x   x   x   x   x   x x        +    <         >            +   <      <   <   2   2 2   1   3   5   3   5 2   1   3   1   0 1   2   2  K  t h    x     <   <  3   5   1 2   2  V    : x   ;   ;               +                                    3   5 1   3   5 1 2   2   2  Ví d    3:   Gi  i các b  t phương trình sau:  a)   5  x   x   2  5   5 log (4   144)   4 log 2   1   log (2   1)  +      <   +   +  b)   x x log   log (   )             3   9   72   1  L  i gi  i  a)   5  x   x   2  5   5 log (4   144)   4 log 2   1   log (2   1)  +      <   +   +   (1).  x x   x   x ( )   log (   )   log   log   log (   )   log   log ( .   )         +    +      <   +   +      <   +          5 4   2   2 5   5   5   5   5 4   144 1   4   144   2   5   2   1   5 2   5 16  x x   x   x   x .   .   x  +    <   +         +   <      <   <      <   < 2 4   144   5 2   5   4   20 2   64   0   4   2   16   2   4 16 V  a b    x <   < 2   4.

Chuyên đề trắc nghiệm bất phương trình logarit

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT

Vấn đề 10

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT
Thường sử dụng các phương pháp sau:
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
1/ Phương trình – Bất phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ
+ Nếu a  0, a  1 thì a    a
f x

g x 

 f x   g x 

a  1

+ Nếu a chứa ẩn thì a    a    a  1 f  x  g x  0  
f x

gx



f  x  g x



.

f x
gx
f x
g x
+ a    b    log a a    log a b    f x   log a b.g x  (logarit hóa).

Bất phương trình mũ
f x
g x
+ Nếu a  1 thì a    a    f x   g x  . (cùng chiều)
+ Nếu 0  a  1 thì a    a
f x

+ Nếu a chứa ẩn thì a    a
f x

g x 

 f x   g x  . (ngược chiều)

g x 

 a  1  f x   g x   0 .



2/ Phương trình logarit – Bất phương trình logarit cơ bản
Phương trình logarit
+ Nếu a  0, a  1 : log a x  b  x  a b

1

+ Nếu a  0, a  1 : loga f x   loga g x   f x   g x  2
+ Nếu a  0, a  1 : loga f x   g x   f x   a

g x

(mũ hóa) 3 

Bất phương trình logarit
+ Nếu a  1 thì log a f x   log a

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Phương trình – bất phương trình – GTLN – GTNN mũ và logarit

Câu hỏi về Hàm số Lũy thừa, Mũ và Logarithm
Trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2017
Dương Trác Việt

Bài viết cung cấp một số cách giải quyết những bài tập về hàm số lũy thừa, mũ và
logarithm trong đề thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia năm 2017, thuộc các mã đề 101 –
104. Trong nghiên cứu này, chúng tôi ưu tiên đề cập loạt kỹ thuật giải nhanh theo định
hướng trắc nghiệm. Tuy nhiên, ở lớp các câu hỏi vận dụng cao, chúng tôi sẽ trình bày
chi tiết theo lối tự luận truyền thống.

1 Biểu thức lý thuyết
Bài 1 (QG17,104,c08). Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
1
A. log2 a = loga 2.
B. log2 a =
.
C. log2 a =
.
D. log2 a = − loga 2.
log2 a
loga 2
Hướng dẫn giải
Hoán đổi vị trí của cơ số thì ta dùng phép nghịch đảo.
=⇒ Chọn đáp án C
Bài 2 (QG17,102,c06). Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số
thực dương x, y?
x
x
A. loga = loga x − loga y.
B. loga = loga x + loga y.
y
y
loga x
x
x
D. loga =
.
C. loga = loga (x − y).
y
y
loga y
Hướng dẫn giải
Gọi tắt 

Hướng dẫn giải các bài toán về hàm số lũy thừa, mũ và logarit trong đề thi THPT QG 2017 – Dương Trác Việt

FB:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73- Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017- Ths. Trần Duy Thúc Ths. Trần Duy Thúc. SĐT: 0979.60.70.89   Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường !   1  Lời nói đầu  TP.HCM, ngày 20 tháng 10 năm 2017 Trần Duy Thúc  Chào các Em học sinh thân mến ! Nhằm cung cấp cho các Em tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017, Thầy gửi đến cho các Em tiếp  quyển 4      Bài tập trắc nghiệm hàm mũ và logarit   Phần 1. Biến đổi biểu thức chứa mũ và logarit Phần 2. Tập xác định – đạo hàm – các bài toán liên quan Phần 3. Phương trình mũ – phương trình logarit Phần 4. Bất phương trình mũ – bất phương trình logarit Phần 5. Các bài toán tổng hợp Phần 6. Bảng đáp án  Cuối cùng Thầy cũng không quên nói với các Em rằng mỗi quyển tài liệu điều mang trong nó những kiến thức bổ ít và dù đã cố gắng nhưng tài liệu cũng còn trong đó những sai sót nhất định. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành từ các Bạn đọc. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ sau:  Gmail: tdthuc89@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73  Chân thành cảm ơn các Bạn đọc đã đón nhận và góp ý trong trong thời gian qua!FB:https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73- Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017- Ths. Trần Duy Thúc Ths. Trần Duy Thúc. SĐT: 0979.60.70.89   Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường !   2  Câu 1.   Cho các số dương    , , (   1) a b c a   và số      0     , chọn mệnh đề   sai   trong các mênh đề sau:  A.              log   log   log a   a   a b   c   b   c  B.    log   log a   a b   b       C.    log   1 a   a  D.    log   c a   a   c  Câu 2.   Cho các số dương    , , ( ,   1) a b c a b   , chọn mệnh đề   sai   trong các mênh đề sau:  A.             log   .   log   log a   a   a b c   b   c   B.    log   .log   log a   b   a b   c   c  C.    log   log c   a a   b   c   b   D.      1 log   log a b  b   a  Câu 3.   Cho các số dương    , , ( ,   1) a b c a b   , chọn mệnh đề   sai   trong các mênh đề sau:  A.          log   log a   a b   c   a   c   B.     log a   b  a   b  C.      log log   log  a b a  c c   b  D.          log   log a   a b   c   b   c  Câu 4.   Cho các số dương    , , (   1) a b c a   , chọn mệnh đề   sa i trong các mênh đề sau:  A.          log   log a   a b   c   b   c  B.          log   log a   a b   c   b   c  C.          b   c  a   a   b   c  D.          log a   b   c   b   c  Câu 5.   Cho các số dương    , , (   1) a b c a   , chọn mệnh đề   sai   trong các mênh đề sau:  A.          log   log a   a b   c   b   c  B.          log   0   1 a   b   b  C.    2   3  a   a  D.          log   c a   b   c   b   a  Câu 6.   Tìm điều kiện của các số a, b để    7   6  a   a   và    log   3   log   4 b   b   :  A.          1; 0   1 a   b  B.          0   1;   1 a   b  C.       1;   1 a   b  D.             0   1; 0   1 a   b  Câu 7.          2   5 log   5;   log 3 a   b   , chọn biểu diển      của   10 log   15   theo a và b :  A.            10  1 log   15   1  a b a  B.        10  1 log   15   1  b a  C.        10  1 log   15   1  ab a  D.        10 log   15   1  a   b a  Câu 8.          2   3 log   3;   log 4 a   b   , chọn biểu diển đúng của   6 log   24   theo a và b:  Phần 1. Biến đổi biểu thức chứa mủ và logarit

Bài tập trắc nghiệm hàm mũ và logarit – Trần Duy Thúc

LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 2017  LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH –   13 5 NGUYỄN CHÍ THANH     Fb: ThayNguyenDaiDuong      Sdt: 0932589246   1  LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM TOÁN  Năm học: 2016 -2017  Giáo viên: Nguyễn Đại Dƣơng  Chuyên Luyện Thi THPT QG 10 –   11      12  Chuyên Luyện Thi Trắc Nghiệm     Phan Thanh      135 Nguyễn Chí Thanh  Hotline: 0932589246  CHINH PH  C GI  I TÍCH 12  TRẮC NGHIỆM  MŨ & LOGARIT  TÀI LIỆU LƢU HÀNH NỘI BỘ  (KHÔNG SAO CHÉP DƢỚI MỌI HÌNH THỨC)LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 2017  LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH –   135 NGUYỄN CHÍ THANH           Fb: ThayNguyenDaiDuong      Sdt 0932589246 2

Bài tập trắc nghiệm mũ và logarit – Nguyễn Đại Dương

TRƯ  N G THPT ĐĂK GLONG         GT1 2   -   CH   Th  y Tr  n g   -   biên so  n và sưu t  m   -   Chúc các em h  c t  t và thành công!   0  M    Bài 1: MŨ      LŨY TH  A   ................................ ................................ ................................ ............................  1   _ D  NG 1: TÍNH GIÁ TR    BI  U TH  C ................................ ................................ .............................  1     D  NG   2 :   SO SÁNH CÁC LŨY TH  A.   ................................ ................................ .............................  3     D  NG   3 :   BI  N Đ  I, RÚT G  N, BI  U DI  N CÁC BI  U TH  C CH  A LŨY TH  A.   ................  5  Bài 2: HÀM S    LŨY TH  A  ................................ ................................ ................................ ......................  9     D  NG   1 :   TÌM T  P XÁC Đ  NH C  A HÀM S    TH  C CH  A LŨY TH  A.  ................................ .  9     D  NG   2 :     O HÀM C  A HÀM S    LU    TH  A  ................................ ................................ ..........  11     D  NG   3 :   TÍNH CH  T, Đ    TH    C  A HÀM S    LU    TH  A  ................................ ........................  14  Bài 3: LOGARIT   ................................ ................................ ................................ ................................ .......  19     D  NG   1 :   TÍNH GIÁ TR    BI  U TH  C. ................................ ................................ ............................  19     D  NG   2 :   BI  N Đ  I, RÚT G  N, BI  U DI  N BI  U TH  C CH  A LOGARIT, MŨ, LŨY TH  A.  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .  21     D  NG   3 : B I  U DI  N CÁC BI  U TH  C CH  A LOGARIT THEO BI  U TH  C KHÁC.   ..........  25  Bài 4: HÀM S    MŨ   -   LOGARIT   ................................ ................................ ................................ ............  29     D  NG   1 :   TÌM T  P XÁC Đ  NH C  A HÀM S    MŨ, HÀM S    LOGARIT.   ................................ .  29     D  NG   2 :     O HÀM C  A HÀM S    MŨ, LOGARIT.   ................................ ................................ ...  31     D  NG   3 : S    BI  N THIÊN VÀ Đ    TH    C  A HÀM S    MŨ -   LOGARIT.   ................................ ....  34     D  NG   4 :   TÌM GTLN - GTNN C  A HÀM S  .  ................................ ................................ ..................  38     D  NG   5 :   TOÁN TH  C T  .   ................................ ................................ ................................ ..............  40     D  NG   6 :   TOÁN TÌM THAM S    M Đ    HÀM S    XÁC Đ  NH.   ................................ .....................  45  Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ  ................................ ................................ ................................ ...................  50     D  NG   1 :   PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ B  N. ................................ ................................ ......................  50     D  NG   2 :   PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƯA V    CÙNG CƠ S  .   ................................ ............................  52     D  NG   3 :     T    N PH  .   ................................ ................................ ................................ ...................  54     D  NG   4 :   PT CH  A THAM S    M TH  A MÃN ĐK.   ................................ ................................ .....  57  Bài 6: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT   ................................ ................................ ................................ ......  64     D  NG   1 :   PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ B  N.   ................................ ................................ ..........  64     D  NG   2 :   PHƯƠNG TRÌNH   LOGARIT ĐƯA   V    CÙNG CƠ S  .   ................................ .................  66     D  NG   3 :     T    N PH    ................................ ................................ ................................ ....................  68     D  NG   4 :   PT CH  A THAM S    M   ................................ ................................ ................................ ...  71  Bài 7: B  T PHƯƠNG TRÌNH MŨ   ................................ ................................ ................................ .........  77     D  NG   1 :   B  T PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ B  N. ................................ ................................ .............  77     D  NG   2 :   B  T PHƯƠNG TRÌNH MŨ Đ  T    N PH  . ................................ ................................ ....  79     D  NG   3 :   B  T PT MŨ CH  A THAM S  . ................................ ................................ .......................  82  Bài 8: B  T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT   ................................ ................................ .............................  88     D  NG   1 :   B  T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ B  N.   ................................ ................................ .  88     D  NG   2 :   B  T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Đ  T    N PH  .   ................................ ........................  92     D  NG   3 :   B  T   PT LOGARIT CH  A THAM   S  .   ................................ ................................ ...........  94TRƯ  N G THPT ĐĂK GLONG         GT1 2   -   CH   Th  y Tr  n g   -   biên so  n và sưu t  m   -   Chúc các em h  c t  t và thành công!   1  B    MŨ      LŨY TH  A   _ DẠNG 1:   TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC  PHƯƠNG PHÁP :     Công th  c mũ, lũy th  a cơ b  n     S    d  ng h    th  ng công th  c v    mũ và lũy th  a .  Casio :     Xét hi  u Calc đ  c bi  t hóa:  Ch  n giá tr    thích h  p đ    th     .  A   -   VÍ DỤ   MINH HỌA .  Ví d    1.   T     c  a   bi  u th  c 3   7  2 .2 A   =   .  A . 10  2   .   B . 4  2    .   C . 4  2   .   D . 21  2   .  L  i gi  i  Ch  n   A  Ta có: 3   7   3 7   10  2 .2   2   2 A   +  =   =   =   .  Ví d    2 .   Ch  n   m  n h đ    nào    .  A . (   ) 5 2   7  3   3 =   .   B . (   ) 5 2   10  3   3 =   .   C . (   ) 5 2   3  3   3   =   .   D . (   ) 5 2   3  3   3 =  L  i gi  i  Ch  n   B  Ta có: (   ) 5 2   2.5   10  3   3   3 =   =   .  Ví d    3.   Giá tr    c  a bi  u th  c 2   1   2   1   2  3   .9   .27 C        =   b  ng  A . 1   .   B . 27   .   C . 3   .   D . 9  L  i gi  i  Ch  n   D  Ta có: (   )   (   ) 3 1   2   2   1 2   2   3 1   2 2   1   2   1   2   2   1   2   2   2  3   .9   .27   3   .3   .3   3   3   9 C         +            =   =   =   =   =  .  Ví d    4 .   Cho a   là s    th  c dương. Giá tr    c  a bi  u th  c 2 3  P   a   a =   b  ng  A . 5 6  a   .   B . 5  a   .   C . 2 3  a   .   D . 7 6  a   .  L  i gi  i  Ch  n D  V  i 0 a      , ta có 2   2   7 1 3   3   6 2  P   a   a   a   a   a =   =   =   .  Ví d    5 .   Bi  u th  c (   ) 3   6 3   2   5  .   .   0 P   x   x   x   x =      vi  t dư  i d  ng lũy th  a v  i s    mũ h  u   t    là  A . 8 3  P   x =   .   B . 5 6  P   x =   .   C . 1 3  P   x =   .   D . 3  P   x =   .  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có: (   )  1   5   1   5   8 3 2   2 3   6   3   6   3 2 3   .   .   .   . P   x   x   x   x   x   x   x      =   =   =        

Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Nguyễn Trọng

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  1  Chuyên đề 2:   Hàm số lũy thừa      Hàm số mũ      Hàm số logarit  LŨY THỪA. HÀM SỐ LŨY THỪA  A . KIẾN THỨC CẦN NHỚ  I.   LŨY THỪA  1.   Lũy thừa với số mũ nguyên  a)     Cho *  n    và a    .   Lũy thừa bậc   n   của   a   là tích của   n   thừa số   a : . ......     ' .. n  n s   a a o a   a a   Trong đó:   a   g    n   là số mũ.  Với 0 a      thì 0   1 1 n n  a a   a                 (Chú ý là 0  0   và 0   n    không có nghĩa).  b)   Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên     Cho 0 a      , 0 b      và , m n    , ta có:  +) . m   n   m n  a   a   a        +) m m   n n  a   a a      +)       .  n m   m n  a   a    +)     .   .  n   n   n  a b   a   b    +) n   n n  a   a b   b                     [ Tính chất bất đẳng   thức ] :  Cho , m n    . Khi đó:     Với 1 a      thì m   n  a   a   m   n          .     Với 0   1 a       thì m   n  a   a   m   n          .  Hệ quả 1:   Với 0   a   b       , n    thì:   0. n   n  a   b   n          0. n   n  a   b   n         Hệ quả 2:   Với   n   là số tự nhiên lẻ thì . n   n  a   b   a   b         2.   Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ  a)   Căn bậc n     Cho a    và *  n    , ta   có: b    là căn bậc   n   của   a n  b   a       .  Nhận xét:     Nếu a    thì   a   có duy nhất một căn bậc   n   lẻ là n   a   .     Nếu 0 a      thì   a   có đúng 2 căn bậc   n   chẵn là n   a   và n   a    (trong đó 0 n   a      và 0 n   a      ).  Tính chất:   Cho ,   0 a b      , *  , m n    và , p q      . Khi đó:   . n   n   n  ab   a   b  n n n  a   a b   b     ,     0 b          p n   p   n  a   a    ,     0 a    m n   mn  a   a      Nếu p   q n   m     thì n   m p   q  a   a    ,     0 a      . Đặc biệt . mn   m n   a   a   1 CHỦ ĐỀhttps://www.face book.com/ThayCaoTuan  2  Cao Tu       0975306275   Số 135 A / Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN  Chú ý:     Nếu   n   là số nguyên dương lẻ và a   b    thì . n   n  a   b      Nếu   n   là số nguyên dương chẵn và 0   a   b       thì . n   n  a   b   b)   Lũy thừa với số mũ hữu tỉ     Cho   a   là một số thực dương,   r   là một số hữu tỉ có dạng m r   n     , trong đó *  , m   n      . Lũy thừa của   a   với số mũ   r   là số xác định bởi: m n r   m n  a   a   a      Tính chất:   Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.  3.   Lũy thừa với số mũ thực  a)   Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực  Cho 0 a      là một số thực dương và    là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ 1   2  ,   ,....   ,... n  r   r   r   mà lim   n  r      . Khi đó người ta chứng minh được rằng dãy số thực 1   2  ,   ,....   ,... n r r   r  a   a   a   có giới hạn xác định. Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của   a   với số mũ    , kí hiệu là a     .   Vậy lim   . n r x   a a       b)   Công thức lãi kép     Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước.  Công thức:   Giả sử số tiền gốc là A   ; lãi suất % r   /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).     Số tiền nhận được cả gốc và lãi   sau n   kì hạn gửi là     1   .  n  A   r      Số tiền lãi   nhận được sau n   kì hạn gửi là           1   1   1 .  n   n  A   r   A   A   r                           Ví dụ:      gửi 100 triệu vào tài khoản đị nh k    tính lãi kép với lãi suất là 8%/nă m.  Tính   số   ti  n   lãi   thu đượ c sau 10 n  m.  Lời giải:  S    thu v    sau 10 năm là:           10  1   100   1   0,08   1   115,892   .  n  A   r   A   tr   tr                                 GHI NHỚ   (về cơ số của luỹ thừa   0)     Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.     Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.  II.   HÀM SỐ LŨY THỪA  1.   Khái niệm hàm số lũy thừa     Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng y   x       , trong đó    là một hằng số tuỳ ý. Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta có:  Hàm số   Số mũ lũy thừa   Tập xác định y   x       nguyên dương D    y   x       nguyên âm hoặc 0 n     \ 0 D    y   x       khô ng nguyên     0; D        Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định   của nó.

Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Cao Tuấn

   Website: https://toanmath.com/  Su tÇm vμ gi¶ng d¹y: NguyÔn B¶o V¬ng - 0946798489   Trang   1  Câu 1.   Tính đạo hàm của hàm số   3   log x y   x      A.   3 log   ln 3 y   x       .   B.   1   ln ln 3  x y       .  C.   1 3 ln 3   ln10  x y   x        .   D.   3 1 log   ln 3  y   x   x        .  Lời giải.  Chọn C.  Ta có:   1 3 ln 3   ln 10  x y   x        .  Câu 2.     x   x x   x e   e y   e   e           bằng  A.      2 4  x   x e   e     .   B.   x   x e   e     .   C.      2  x x   x e e   e    .   D.      2 5  x   x e   e     .  Lời giải.  Chọn A.  x   x x   x e   e y   e   e                                                     2  x   x   x   x   x   x   x   x x   x e   e   e   e   e   e   e   e e   e                                 2   2   2   2 2 1   1   1   1 x   x   x   x x   x e   e   e   e e   e                                  2 4  x   x e   e      .  Câu 3.   Cho hàm số          2 ln 4 f   x   x   x       chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau  A.      1 5   2  f         .   B.    2   1 f         .   C.    2   0 f         .   D.         6 1   5  f         .  Lời giải.  Chọn. C.         2 ln 4 f   x   x   x          2 4   2 4  x f   x   x   x                2 4   2.2 2   0 4.2   2  f               .  Câu 4.   Cho   0,   1, a   a       tính đạo hàm   y    của hàm số   log a y   x    (   0 x      )  A.   1 '   . ln  y   x   a     .   B.   1 '   . y   x     .   C.   ln '   .  a y   x     .   D.   '   .  a y   x     .  Lời giải.  Chọn A.  Ta có   1 ln  y   x   a     .  Câu 5.   Tính đạo hàm của hàm số   3 2   .   . x y   x e   BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT.   Website: https://toanmath.com/  Su tÇm vμ gi¶ng d¹y: NguyÔn B¶o V¬ng - 0946798489   Trang   2  A.       3   3 1 '   6   . 3  x y   xe   x       B.       3   3 2 '   6   . 3  x y   xe   x       .  C.       3   3 2   2 1 '   6   . 3  x y   x e   x       D.       3   3 2 2 '   6   . 3  x y   x e   x       .  Lời giải.  Chọn A.  Ta có             3   3 2   2 x   x y   x   e   x   e               3   3 3 2 2   x   x xe   x   x   e          3   3 2 3   2 1 2 .   e 3  x   x  x e   x x        .  3   3 3 2 .   e 3  x   x x x e   x           3   3 1   6 3  x xe   x       .  Câu 6.   Trong các hàm số      1  ln sin  f   x   x     ,      1   sin  ln   cos  x  g x   x       ,      1  ln cos  h x   x     , hàm số nào sau    1 cos   x   ?  A.    g x   và    h x   .   B.    g x   .   C.    f   x   .   D.    h x   .  Lời giải.  Chọn.B.  Ta có     1 sin 1 sin  x  f   x x                               2 cos sin 1 sin  x x x       cos sin  x x    .    1   sin cos 1   sin cos  x  x g   x   x x                                    2 1   sin cos 1   sin cos  x x x x         1 cos   x    .    1 cos 1 cos  x  h   x x                               2 sin cos 1 cos  x x x     sin cos  x x    .  Câu 7.   Cho hàm số   2   6   8 5   x   x y             . Gọi   m   là giá trị thực để   (2)   6   ln 5 y   m       . Mệnh đề nào dưới đây   A.   1 3  m      .   B.   1  0   2  m       .   C.   1 2  m      .   D.   0 m      .  Lời giải.  Chọn.B.  Ta có        2   6   8 5   2   6 . ln 5 x   x y   x                  2   2 ln 5 y        6   ln 5   2 ln 5 m       1 3 m       .  Câu 8.   Tìm đạo hàm của hàm số       2 ln   1 y   x   x       

Giải chi tiết các dạng toán lũy thừa, mũ và logarit – Nguyễn Bảo Vương

GV . Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231  LÊ MINH CƯỜNG  "Cuộc sống cũng giống như đạp xe đạp, muốn giữ thăng bằng, phải liên tục chuyển động" - Albert Einstein  Tài liệu tự học  Chuyên đề 2: HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LÔGARIT  (theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết)  TOÁN 12  Vol.1. CĐ2.ĐS  Sài Gòn, mùa Giông Bão – 2017  Tài liệu lưu hành nội bộGV . Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231  I  Lời nói đầu  Nhằm tạo nguồn tài liệu dồi dào, phong phú và thích hợp với xu hướng TỰ HỌC của học sinh. Thầy cùng một số thầy/cô khác đã dày công biên soạn và sưu tầm các dạng Toán TRẮC NGHIỆM lớp 12 và cho ra đời tập "TÀI LIỆU TỰ HỌC - TOÁN 12, Vol.1." để đáp ứng nhu cầu học sinh cũng như làm thỏa mãn tính TỰ HỌC ở những bạn đã sớm ý thức được kỹ năng CẦN THIẾT này. Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã kiểm tra rất kỹ lưỡng không thể tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn, bạn đọc và các em học sinh có thắc mắc hãy thẳng thắn gửi mail về địa chỉ   cuong11102@gmail.com   hoặc gặp   thầy Cường . Chúc các em học tập thật tốt và đừng quên sự ủng hộ nhiệt tình của các em sẽ là động lực để thầy hoàn thiện   VOL.2.   nhé.  ?   Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN   12   Thầy   Lê Minh Cường   -   01666658231

Tài liệu tự học chuyên đề hàm số lũy thừa – mũ – logarit – Lê Minh Cường

Câu   1:   (THPT   Chuyên   Thái   Bình-lần   1-năm   2017-2018)   Cho số thực dương   0 a      và khác   1   . Hãy rút gọn biểu thức 1   1   5 3   2   2 1   7   19 4   12   12  a   a   a  P a   a   a                                 .  A.   1 P   a       .   B.   1 P      .   C.   P   a    .   D.   1 P   a       .  Lời   giải  Chọn   A  Ta có:                1   1   5 1   1   5 3   2   2   2 3   2   6 1   7   5 1   7   19 4   12   6 4   12   12 1   1   1 1  a   a   a   a   a   a   a   a P   a a   a   a   a a   a   a                                                         .  Câu   2:   (THPT   Chuyên   Thái   Bình-lần   1-năm   2017-2018)   Cho các số thực dương   a   ,   b   với   1 a      và log   0 a   b      . Khẳng định nào sau đây là đúng?  A.   0   ,   1 0   1  a b a   b                   .   B.   0   ,   1 1   ,  a b  a b          .   C.   0   1 1   ,  b   a  a b             .   D.   0   ,   1 0   1  a b b   a                   .  Lời   giải  Chọn   B  Ta có: 0 0 1 1 log   0   0   1 0   1  a a b   a b   a b   a                                         . Vậy Chọn B  Câu   3:   (THPT   Chuyên   Thái   Bình-lần   1-năm   2017-2018)   Tập xác định của hàm số         1  5 1 y   x       là:  A.       0;      .   B.       1;      .   C.       1;      .   D.      .  Lời   giải  Chọn   C  Hàm số xác định khi:   1   0   1 x   x             . Vậy tập xác định:       1; D         .  Câu   4:   (THPT   Chuyên   Thái   Bình-lần   1-năm   2017-2018)   Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực      ?  A.   3  x  y                  .   B.   1 2 log y   x    .   C.       2 4 log   2   1 y   x         .   D.   2   x  y   e                 .  Lời   giải  Chọn   D  Hàm số   1 2 log y   x    có TXĐ       0; D         nên không thỏa mãn. Do   1 3        nên hàm số   3  x  y                        . Do   2 0   1  e        nên hàm số   2   x  y   e                 nghịch biến trên      .Hàm số       2 4 log   2   1 y   x         có      2 4 2   1 ln   4  x y x                          x      0   nên không nghịch biến trên      .  Câu   5:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào sai?  A.   Hàm số   x  y   e    không chẵn cũng không lẻ.  B.   Hàm số       2 ln   1 y   x   x          không chẵn cũng không lẻ.  C.   Hàm số   x  y   e    có tập giá trị là       0;      .  D.   Hàm số       2 ln   1 y   x   x          có tập xác định là      .  Lời   giải  Chọn   B  Tập xác định      . Ta có:   x   x              .                        2   2 2 1 ln   1   ln   ln   1 1   1  f   x   x   x   x   x   f   x  x                                    . Do đó hàm số       2 ln   1 y   x   x          là hàm số lẻ. Suy ra khẳng định B sai.  Câu   6:   (THPT   Lê   Hồng   Phong-Nam      1-năm   2017-2018)   Cho hai hàm số         log   a y   f   x   x       và        x  y   g   x   a       . Xét các mệnh đề sau:  I.          f   x   và       g   x   luôn cắt nhau tại một điểm. II.   Hàm số             f   x   g   x       1 a      , nghịch biến khi   0   1 a       . III.          f   x   nhận trục   Oy   làm tiệm cận. IV.   Chỉ có đồ thị hàm số       f   x   có tiệm cận. Số mệnh đề đúng là  A.   1   .   B.   4   .   C.   2   .   D.   3   .  Lời   giải  Chọn   C  I. sai vì có đồ thị hàm số         2 log y   f   x   x       và         2   x  y   g   x         y   x    nhưng không cắt nhau , đồ thị hàm số         2 log y   f   x   x       và         2   x  y   g   x       cắt nhau tại hai điểm       2; 2 A   và       4; 4 B   . II. đúng do tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit III. đúng do       0   0 lim   lim log   a x   x f   x   x               khi   1 a      và       0   0 lim   lim log   a x   x f   x   x               khi   0   1 a     nên đồ thị hàm số       f   x   nhận trục   Oy   làm tiệm cận (tiệm cận đứng) IV. sai vì đồ thị hàm số         x  y   g   x   a       có tiệm cận ngang là đường thẳng   0 y      .  Câu   7:

Trắc nghiệm lũy thừa, mũ và logarit trong các đề thi thử Toán 2018

N ̈m häc 201 8      201 9  M«n To ̧n  Taøi lieäu luyeän thi   T hpt Quoác   G iaMuïc luïc   Trang     Công th  c m    ................................ ................................ ................................ ................................ .........   1     D  ng toán 1.   Công th  c   l   a và m    ................................ ................................ ................................ ...........   1     D  ng toán 2.   Công th  c lôgarit   ................................ ................................ ................................ ............................   9     Rèn luy  n l  n 1   ................................ ................................ ................................ ................................ ............................   19     Rèn luy  n l  n 2   ................................ ................................ ................................ ................................ ............................   29     Rèn luy  n   l  n 3   ................................ ................................ ................................ ................................ ............................   33     Hàm s    l   a, m     ................................ ................................ ................................ ........................   37     D  ng toán 1.   Tìm t  p xác đ  nh   ................................ ................................ ................................ .............................   38     D  ng toán 2.     o hàm   ................................ ................................ ................................ ................................ .............   45     D  ng toán   3 .     u và c  c tr    ................................ ................................ ................................ ........................   51     D  ng toán   4 .   Giá tr    l  n nh  t & giá tr    nh    nh  t   ................................ ................................ ...........................   56     D  ng toán   5 .   Nh  n d  ng đ    th    ................................ ................................ ................................ ............................   67     D  ng toán   6 .   Bài toán lãi su  t và m  t s    bài toán th  c t    khác   ................................ .............................   73         rèn luy  n l  n 1   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   83         rèn luy  n l  n 2   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   88         rèn luy  n l  n 3   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   92         rèn luy  n l  n 4   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   97         rèn luy  n l  n 5   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   102     Phương tr      ................................ ................................ ................................ ................................   107     D  ng toán 1.   Phương tr     n (đưa v    cùng cơ s  )   ................................ ..............   107     D  ng toán 2.   Phương pháp đ  t    n ph    ................................ ................................ ................................ ............   118     D  ng toán   3 .   Phương pháp hàm s    ................................ ................................ ................................ ....................   131     D  ng toán   4 .   Bài toán ch  a tham s    ................................ ................................ ................................ ..................   131         rèn luy  n l  n 1   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   153         rèn luy  n l  n 2   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   156         rèn luy  n l  n 3   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   159         rèn luy  n l  n 4   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   163     B  t phương tr      ................................ ................................ ................................ ........................   167     D  ng toán 1.   B  t phương tr     n (đưa v    cùng cơ s  )   ................................ .......   167     D  ng toán 2.   Phương pháp đ  t    n ph    và phương ph     ................................ ..........................   174     D  ng toán   3 .   Bài toán ch  a tham s    ................................ ................................ ................................ ..................   181         rèn luy  n l  n 1   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   187         rèn luy  n l  n 2   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   191         rèn luy  n l  n 3   ................................ ................................ ................................ ................................ ......................   195

Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Lê Văn Đoàn

GIAÛI TÍCH 12  HÀM SỐ  LŨY THỪA MŨ VÀ LÔGARIT  PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT  Giáo Viên Tr   ng THPT Tuy P hong

Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit – Lư Sĩ Pháp

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN  HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN  MỤC LỤC  PHẦN A. CÂU HỎI   ....................................................................................................................................................... 1  Dạng 1. Tìm tập xác định ............................................................................................................................................... 1  Dạng 1.1 Không chứa tham số   .................................................................................................................................. 1  Dạng   1.2   Chứa   tham   số  .............................................................................................................................................. 2  Dạng 2. Tìm đạo hàm   ..................................................................................................................................................... 4  Dạng   3.   Khảo   sát   hàm   số   mũ,   logarit  ............................................................................................................................ 7  Dạng   4.   Bài   toán   thực   tế   (lãi   suất,   tăng   trưởng...)   .................................................................................................... 16  Dạng 5. Bài toán cực trị   ............................................................................................................................................... 21  Dạng   6.   Một   số   bài   toán   khác   ...................................................................................................................................... 24  PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO   ............................................................................................................................. 25  Dạng 1. Tìm tập xác định ............................................................................................................................................. 25  Dạng 1.1 Không chứa tham số   ................................................................................................................................ 25  Dạng   2.   Chứa   tham   số  .............................................................................................................................................. 26  Dạng 2. Tìm đạo hàm   ................................................................................................................................................... 29  Dạng   3.   Khảo   sát   hàm   số   mũ,   logarit  .......................................................................................................................... 32  Dạng   4.   Bài   toán   thực   tế   (lãi   suất,   tăng   trưởng...)   .................................................................................................... 41  Dạng 5. Bài toán cực trị   ............................................................................................................................................... 53  Dạng   6.   Một   số   bài   toán   khác   ...................................................................................................................................... 63  PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Tìm tập xác định Dạng 1.1 Không chứa tham số Câu 1.   (MÃ      123   BGD&DT   NĂM   2017)   Tìm tập xác định   D   của hàm số         5 3 log   . 2  x  y   x  A.          (   ;   2)   (3;   ) D   B.       (   2; 3) D  C.             (   ;   2)   [3;   ) D   D.          \{ 2} D  Câu 2.   (ĐỀ   MINH   HỌA   GBD&ĐT   NĂM   2017)   Tìm tập xác định   D   của hàm số       2 2 log   2   3 y   x   x         A.             ;   1   3; D            B.       1;3 D     C.             ;   1   3; D            D.       1;3 D     Câu 3.   (MĐ   104   BGD&DT   NĂM   2017)   Tìm tập xác định   D   của hàm số       2 3 log   4   3 y   x   x          .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  A.       1;3 D      B.             ;1   3; D              C.             ; 2   2   2   2; D                  .   D.             2   2;1   3; 2   2 D              Câu 4.   (GKI   THPT   LƯƠNG   THẾ   VINH   HÀ   NỘI   NĂM   2018-2019)   Tìm tập xác định của hàm số      2 2018 log   3 y   x   x       . A.   D         B.       0; D         C.             ; 0   3; D               D.       0; 3 D     Câu 5.   (THPT   CHUYÊN   VĨNH   PHÚC   LẦN   02   NĂM   2018-2019)   Tập   xác      của      2 ln   5   6 y   x   x             là A.       2; 3   B.       2; 3   C.             ; 2   3;          D.             ; 2   3;         Câu 6.   (THPT   LÊ   QUY         BIÊN   NĂM   2018-2019   LẦN   01)   Tìm tập xác định của hàm số 5 1 log   6  y   x        . A.       ;6    B.      C.       0;    D.       6;   Câu 7.   (THPT   LƯƠNG   THẾ   VINH   HÀ   NỘI   NĂM   2018-2019   LẦN   1)   Tập xác định của hàm số      2  2 log   3   2 y   x   x          là A.   (   1;1) D         .   B.   (   1; 3) D      .   C.   (   3;1) D         .   D.   (0;1) D      .  Câu 8.   (SỞ   GIÁO   DỤC      TẠO   VĨNH   PHÚC   NĂM   2018   -   2019   LẦN   01)   Tập xác định của hàm số      2 2 log   2   3 y   x   x          là  A.       1;3    .   B.       1;3    . C.             ;   1   3;          . D.             ;   1   3;          .  Câu 9.   (THPT   CHUYÊN   LÊ   HỒNG   PHONG   NAM      NĂM   2018-2019   LẦN   01)   Tìm tập xác định của hàm số:       x y   x 2   log 3         A.    0;        .   B.       0;3   .   C.       ;3    .   D.    0;3     .  Câu 10.   (CHUYÊN   NGUYỄN   TRÃI   HẢI   DƯƠNG   NĂM   2018-2019   LẦN   01)   Tập xác định của hàm số      ln   2 y   x                  là  A.      .   B.       3;      .   C.       0;      .   D.       2;      .  Câu 11.   (THPT   BA      NĂM   2018-2019   LẦN   02)   Tìm   tập   xác      D   của   hàm   số              2019 2 2019 y   log   4   x   2x   3   .              A.   3   3 D   2;   ; 2 2   2                                        .   B.   3   3 D   2;   ; 2 2   2                                          . C.   3 D   ; 2 2                 .   D.       D   2; 2       .  Câu 12.   Tìm tập xác định của hàm số             0   2 2 2   log   9 y   x   x             là A.       2;3 . D      B.       3;3 \ 2 . D      C.       3;   . D         .   D.       3;3 . D      .  Dạng   1.2   Chứa   tham   số

Trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số logarit và một số bài toán liên quan

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN  Lời nói đầu  Lâu rồi thì mình mới bắt tay vào viết một cái gì đó, cũng có dự định viết về logarit lâu lắm rồi nhưng mãi đến bây giờ mới có cơ hội để thử viết về nó. Hồi còn hoạt động mạnh trong nhóm Luyện đề ĐH 2019 ( nay là luyện đề  bằng được và không chỉ dừng lại ở việc giải ra mình còn cố tìm ra nhiều hướng giải nhất có thể. Và đến hôm nay, trong lúc nghỉ dịch mình quyết  này. Hy vọng nó sẽ giúp ích được cho các bạn. Có một điều trong cuốn tài liệu này đó là nó không phải là tổng hợp những bài toán logarit hay nhất mà nó bao gồm những bài toàn logarit mang đến những tư duy hay nhất. Vì vậy hãy đọc nó một cách khéo léo. Lưu ý mình điều là mình không phải giáo viên nên mọi lời giản trong này ít nhiều có đôi chỗ không đúng với thuần tự luận hay những lí thuyết sgk vì vậy các bạn chỉ nên đọc tham khảo là chính.

Bài toán logarit qua nhiều góc nhìn

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp  (  )  160 CÂU VD MŨ - LOGARIT Môn: Toán  Thời gian làm bài   phút (160 câu trắc nghiệm)  Họ và tên thí sinh:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Mã đề thi 836 Câu 1.   Tính tổng   S   các nghiệm nguyên dương của bất phương trình   log 2  2 x 2      6 x   + 8  x 2   + 4 x   + 6   +   x 3      9 x 2     8 x   + 2   <   0 .  A   S   = 55 .   B   S   = 44 .   C   S   = 45 .   D   S   = 36 .  Câu 2.   Cho   t   =   a  1 1  log a   u   , v   =   a  1 1  log a   t   với   a >   0 , a   6   = 0 . Khẳng định nào sau đây là    ?  A   u   =   a  1 1+log a   t   .   B   u   =   a   1 1  log a   v   .   C   u   =   a  1 1  log a   v   .   D   u   =   a  1 1+log a   v   .  Câu 3.   Cho   x, y   là các số thực lớn hơn   1   sao cho   y x (e x ) e y     x y (e y ) e x  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   = log x   xy   + log y   x .  A   2 2   .   B   2  2 .   C   1 +    2 2   .   D   1 + 2  2 2   .  Câu 4.   Cho   x ;   y   là hai số thực dương thỏa mãn   x   6   =   y   và  (  2 x   + 1 2 x  ) y  <  (  2 y   + 1 2 y  ) x  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   =   x 2   + 3 y 2  xy      y 2   .  A   min   P   = 6 .   B   min   P   =    2 .   C   min   P   = 13 2   .   D   min   P   = 9 2   .  Câu 5.   Tính giá trị của biểu thức   P   =   x 2   +   y 2      xy   + 1   biết rằng  4 x 2 + 1  x 2    1   = log 2 [14      ( y      2)  y   + 1]  với   x   6   = 0   và    1      y      13 2   .  A   P   = 4 .   B   P   = 1 .   C   P   = 2 .   D   P   = 3 .  Câu 6.   Trong các nghiệm   ( x ;   y )   thỏa mãn bất phương trình   log x 2 +2 y 2   (2 x   +   y )      1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức   T   = 2 x   +   y   bằng  A   9 2   .   B   9 4   .   C   9 .   D   9 8   .  Câu 7.   Có bao nhiêu số nguyên   m      log 2 (2 x   +   m )      2 log 2   x   =   x 2      4 x      2 m      1   có hai nghiệm thực phân biệt?  A   1 .   B   3 .   C   4 .   D   2 .  Câu 8.   Biết   phương   trình   log 5  2  x   + 1  x   =   2 log 3  (    x  2      1 2  x  )  có   một   nghiệm   dạng  x   =   a   +   b  2   trong đó   a, b   là các số nguyên. Tính   2 a   +   b .  A   5 .   B   8 .   C   3 .   D   4 .  Câu 9.   cho hàm số   f   ( x )   6   = 0   biết   f    ( x ) = (2 x   + 1) .f   2 ( x )   và   f   (1) =    0 . 5 . Tính tổng   f   (1) +   f   (2) +   f   (3) +  ...   +   f   (2017) =   a b   ( a      Z , b      N )   với   a b   tối giản. Chọn khẳng định đúng.  A   b      a   = 4035 .   B   a   +   b   =    1 .   C   a      (  2017; 2017) .   D   a b <    1 .  Câu 10.   Xét các số thực dương   a, b, c   lớn hơn   1   (với   a > b ) thoả mãn   4 (log a c   + log b c ) = 25log ab c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   = log b a   + log a c   + log c b   bằng  A   17 4   .   B   5 .   C   3 .   D   8 .  Câu 11.   Gọi   ( x ;   y )   là nghiệm nguyên của phương trình   2 x   +   y   = 3   sao cho   P   =   x   +   y   là số dương nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?  A   log 2 ( x   +   y ) = 1 .   B   log 2 ( x   +   y )   >   0 .  C   log 2   x   + log 3   y   không xác định.   D   log 2 ( x   +   y )   >   1 . Trang 1/14      Mã đề 836Câu 12.  Trong hình vẽ bên các đường cong   ( C 1 ) :   y   =   a x ;   ( C 2 ) :   y   =  b x ;   ( C 3 ) :   y   =   c x   và các đường thẳng   y   = 4 , y   = 8   tạo thành hình vuông có cạnh bằng   4 . Biết rằng   abc   = 2   x y   với   x y   tối giản và   x, y      Z + . Giá trị   x   +   y   bằng  A   5 .   B   43 .   C   24 .   D   19 .  x  y  O  8  4  m   n  y   =   a x   y   =   b x  y   =   c x  N  M  P  Q  Câu 13.   Cho   n   là số nguyên dương, tìm   n   sao cho  log a   2019 + 2 2   log  a   2019 + 3 2   log   3  a   2019 +      +   n 2   log   n  a   2019 = 1008 2      2017 2   log a   2019 .  A   2019 .   B   2017 .   C   2016 .   D   2018 .  Câu 14.   Biết   x 1 , x 2   là hai nghiệm của phương trình   log 7  (   4 x 2      4 x   + 1 2 x  )  + 4 x 2   + 1 = 6 x   và   x 1   + 2 x 2   = 1 4  (  a   +    b  )  với   a, b   là hai số nguyên dương. Tính   a   +   b .  A   a   +   b   = 14 .   B   a   +   b   = 11 .   C   a   +   b   = 16 .   D   a   +   b   = 13 .  Câu 15.   Cho   a, b   là hai số thực dương thỏa mãn   b 2   = 3 ab   + 4 a 2   và   a      [ 4; 2 32 ] . Gọi   M   ,   m   lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   = log   b  8  4 a   + 3 4 log 2  b  4   . Tính tổng   T   =   M   +   m .  A   T   = 7 2   .   B   T   = 3701 124   .   C   T   = 1897 62   .   D   T   = 2957 124   .  Câu 16.   Số giá trị nguyên nhỏ hơn   2020   của tham số   m      log 6 (2020 x   +   m ) = log 4 (1010 x )  có nghiệm là  A   2021 .   B   2020 .   C   2022 .   D   2019 .  Câu 17.   Có bao nhiêu cặp số nguyên dương   ( x ;   y )   với   x      2020   thỏa mãn   2 (3 x      y ) = 3 (1 + 9 x )     log 3   (2 x      1) ?  A   3 .   B   1010 .   C   2020 .   D   4 .  Câu 18.   Cho   x, y   là các số dương thỏa mãn   log 2  x 2   + 5 y 2  x 2   + 10 xy   +   y 2   + 1 +   x 2      10 xy   + 9 y 2      0 . Gọi   M, m  lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của   P   =   x 2   +   xy   + 9 y 2  xy   +   y 2   . Tính   T   = 10 M      m .  A   T   = 60 .   B   T   = 94 .   C   T   = 104 .   D   T   = 50 .  Câu 19.   Cho hai số thực   a      b >   1 . Biết rằng biểu thức   T   =   2 log ab   a   +    log a  a b     M   khi có số thực   m   sao cho   b   =   a m . Tính   P   =   M   +   m .  A   P   = 81 16   .   B   P   = 23 8   .   C   P   = 19 8   .   D   P   = 49 16   .  Câu 20.   Tập nghiệm của bất phương trình   log 2  (  x  x 2   + 2 + 4      x 2  )  +2 x +  x 2   + 2      1   là   (  a ;    b ] . Khi đó tích   ab   bằng  A   12 5   .   B   15 16   .   C   5 12   .   D   16 15   .  Câu 21.   Cho các số thực dương   a, b, x, y   thỏa mãn   a >   1 , b >   1   và   a x   =   b y   =    ab 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   = 8 x   +   y 2   là  A   12 .   B   8 .   C   9 .   D   11 .  Câu 22.   Có bao nhiêu số tự nhiên   m      e m   + e 3 m   = 2  (  x   +    1      x 2  ) (  1 +   x  1      x 2  )  có nghiệm?  A   0 .   B   2 .   C Vô số.   D   1 . Trang 2/14      Mã đề 836

160 câu vận dụng cao mũ – logarit ôn thi THPT môn Toán

BÀI 1. L  Y TH  A A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M I. Khái ni  m l  y th  a 1. L  y th  a v  i s    m    nguyên  Cho   n   là m  t s    nguyên d  ng,   a   là m  t s    th  c tùy ý.   L  y th  a   b  c   n   c  a   a   là tích c  a   n   th  a s    a   .  1 thöøa soá . ...   ; n n   a a   a a   a   a   a =   =      Trong bi  u th  c   n a   ,   a    c g  i là   c    s  , s    nguyên   n   là   s    m   V  i   0 a      ,   0 n   =   ho  c   n   là m  t s    nguyên âm, l  y th  a b  c   n   c  a s    a   là s    n a   xác    nh b  i:   0   1 1;   n n a   a   a  - =   =   . Chú ý:  Kí hi  u   0 0 , 0 n   ( n nguyên âm) không có ngh  a.  V  i   0 a      và n nguyên, ta có   1 n n a   a - =  2. Ph  ng trình   n x   b   a) Tr  ng h  p   n   l  : V  i m  i s    th  c b, ph  ng trình có nghi  m duy nh  t b) Tr  ng h  p n ch  n     V  i   0 b      , ph  ng trình vô nghi  m     V  i   0 b      , ph  ng trình có m  t nghi  m   0 x        V  i   0 b      , ph  ng trình có hai nghi  m    i nhau  3. C  n b  c n a)Khái ni  m:   V  i n nguyên d  ng, c  n b  c n c  a s    th  c   a   là s    th  c b sao cho   n b   a =   .  Ta th  a nh  n hai kh  ng    nh sau:   Khi n là s    l  , m  i s    th  c   a   ch    có m  t c  n b  c n. C  n        c kí hi  u là   n   a   Khi n là s    ch  n, m  i s    th  c d  ng a có      n b  c n là hai s     i nhau là   n   a   ( còn g  i là c  n b  c s    h  c c  a   a   ) và   n   a -   .  b) Tính ch  t c  n b  c n:   V  i   a, b     0, m, n     N*, p, q     Z   ta có: . n   n   n ab   a   b =   ;   (   0)  n n n a   a   b b   b  =   >   ;  (   )   (   0)  p n   p   n a   a   a =   >   ;   m n   mn a   a =  N  u   (   0) n   m p   q p   q thì   a   a   a n   m  =   =   >   ;    c bi  t   mn   m n   a   a =           , ,  n   n   a   n le a   a   n chan        4. L  y th  a v  i s    m    h  u t   Cho s    th  c   a   d  ng và   r   là m  t s    h  u t  . Gi    s    m r   n  =   , trong       m   là m  t s    nguyên, còn n là m  t s    nguyên d  ng. Khi      y th  a c  a a v  i s    m    r là s    r a   xác    nh b  i   m n r   m n a   a   a =   =   .  4. L  y th  a v  i s    m    h  u t  : ( SGK)II. TÍNH CH  T C  A L  Y TH  A V  I S    M    TH  C  Cho   , a b   là nh  ng s    d  ng;   ,          . a   a   a                ;   a   a b              ;       a   a        ;   a   a b   b                       N  u   1 a      thì   a   a                    N  u   1 a      thì   a   a                    B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P D  ng 1: Các phép toán bi  n    i l  y th  a 1. Ph  ng pháp:  Ta c  n n  m các công th  c bi  n    i l  y th  a sau:     V  i       a   0;b   0   và     ,   ta   có                                                                 . a   a   a a   .a   a   ;   a   ;   (a   )   a   ;   (ab)   a   .b   ;   b a   b     V  i   a,   b     0,   m,   n     N*,   p,   q     Z   ta   có:   n   n   n ab   a. b   ;        n n n a   a (b   0) b   b   ;            p n   p   n a   a   (a   0)   ;   m n   mn a   a          n   m p   q p   q Neáu   thì   a   a   (a   0) n   m   ;    c   bi  t      mn   m n   a   a  Công th  c    c bi  t        x x a f   x   a   a        thì             1   1. f   x   f   x         Th  t v  y, ta có:      1   .  x x x a a a f   x   a   a   a a a a                 1   x a f   x   a   a             Nên:             1   1. f   x   f   x         2. Bài t  p Bài t  p 1.   Vi  t bi  u th  c 3 0,75 2   4 16   v    d  ng l  y th  a   2 m   ta    c   ? m      .  A.   13 6     .   B.   13 6   .   C.   5 6   .   D.   5 6     .

Các dạng bài tập VDC lũy thừa và hàm số lũy thừa

0  CH INH PH  C O LYMPIC TO   T  P CH     U TO   C  C  C TR   M       LOGARIT  Cu  n s    l     t  ng h  p v  h    lo  i   c   ng to    m       logarit   hay  v         thi   THPT Qu  c   Gia nh  m   h   ng t  i c   n h  c sinh  c   c ti       i h  c  Phương pháp gi  i toánT  P CHÍ VÀ TƯ LI  U TOÁN H  C  Copyright     All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form  or by anymeans, or stored in data base or a   retrieval system, without the prio r written  the   permission of the author.

Phương pháp giải toán cực trị mũ – logarit

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN  NĂM HỌC 2020-2021  MŨ VÀ LOGARIT  TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG PHỔ THÔNG QUỐC GIA VÀ CÁC ĐỀ THI THỬ  TỪ NĂM 2017 ĐẾN 2020MŨ VÀ LOGARIT TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA VÀ CÁC ĐỀ THI THỬ  A   MŨ VÀ LOGARIT TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QG  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT  Câu 1.   Với các số thực dương   a, b   bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?  A   ln( ab ) = ln   a   + ln   b .   B   ln( ab ) = ln   a.   ln   b .  C   ln   a b   = ln   a  ln   b   .   D   ln   a b   = ln   b      ln   a .  Câu 2.   Tìm nghiệm của phương trình   3 x  1   = 27 .  A x   = 9 .   B   x   = 3 .   C   x   = 4 .   D   x   = 10 .  Câu 3.   Tính đạo hàm của hàm số   y   = log   x .  A   y    = 1  x .   B   y    = ln 10  x   .   C   y    =   1  x   ln 10 .   D   y    =   1 10 ln   x   .  Câu 4.   Tìm tập nghiệm   S   của bất phương trình   5 x +1      1 5   >   0 .  A   S   = (1; +  ) .   B   S   = (  1; +  ) .   C   S   = (  2; +  ) .   D   S   = (  ;    2) .  Câu 5.   Cho phương trình   4 x   + 2 x +1      3 = 0 . Khi đặt   t   = 2 x , ta được phương trình nào dưới   A   2 t 2      3 = 0 .   B   t 2   +   t      3 = 0 .   C   4 t      3 = 0 .   D   t 2   + 2 t      3 = 0 .  Câu 6.   Cho   a   là số thực dương khác   1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương  x, y ?  A   log a  x y   = log a   x      log a   y .   B   log a  x y   = log a   x   + log a   y .  C   log a  x y   = log a ( x      y ) .   D   log a  x y   = log a   x  log a   y   .  Câu 7.   Tính đạo hàm của hàm số   y   = log 2   (2 x   + 1) .  A   y    =   1 (2 x   + 1) ln 2   .   B   y    =   2 (2 x   + 1) ln 2   .  C   y    =   2 2 x   + 1   .   D   y    =   1 2 x   + 1   .  Câu 8.   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số   m      3 x   =   m   có nghiệm thực.  A   m      1 .   B   m      0 .   C   m >   0 .   D   m   6   = 0 .  Câu 9.   Tìm tập xác định   D   của hàm số   y   = log 3 ( x 2      4 x   + 3) .  A   D   = (2    2; 1)      (3; 2 +    2) .   B   D   = (1; 3) .  C   D   = (  ; 1)      (3; +  ) .   D   D   = (  ; 2    2)      (2 +    2; +  ) .  Câu 10.   Với   a   là số thực dương tùy ý,   ln(5 a )      ln(3 a )   bằng  A   ln(5 a ) ln(3 a ) .   B   ln(2 a ) .   C   ln 5 3   .   D   ln 5 ln 3 .  Câu 11.   Với   a   là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?  A   log(3 a ) = 3 log   a .   B   log( a 3 ) = 1 3 log   a .  C   log( a 3 ) = 3 log   a .   D   log(3 a ) = 1 3 log   a .  Câu 12.   Tập nghiệm của phương trình   log 2 ( x 2      1) = 3   là  A   {− 3; 3 } .   B   {− 3 } .   C   { 3 } .   D   {−√ 10;    10 } .  Câu 13.   Với   a   là số thực dương tuỳ ý,   log 3 (3 a )   bằng  A   3 log 3   a .   B   3 + log 3   a .   C   1 + log 3   a .   D   1      log 3   a .  Mũ và logarit   Những nẻo đường phù sa   Trang 2

Mũ và logarit trong đề thi THPT môn Toán (2017 – 2020)

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT  BÀI 2. LÔGARIT  Mục tiêu     Kiến thức  +   Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.  +   Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.  +   Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.     Kĩ năng  +   Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.  +   Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa  lôgarit.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Khái niệm lôgarit  Cho hai số dương   , a b   với   1 a      . Số     thỏa mãn đẳng  thức   a   b           a   của   b   , và ký  hiệu là   log    a   b   .  2. Tính chất  Cho   ,   0,   1 a b   a       . Ta có:      log  log   0;   log   1  ;   log                a  a   a  b  a  a  a   b   a  Nhận xét:       log   ,   0,   1                  a   b   a   b   a b   a  Ví dụ:   3  2 log 8   3   2   8         Chú ý:   Không có lôgarit của số âm và số 0.  3. Quy tắc tính lôgarit  a. Lôgarit của một tích  Cho   1   2 ,   ,   0 a b b      với   1 a      , ta có:  1   2   1   2 log (   )       a   a   a b b   log b   log b  Chú ý:     dương:      1   1  log   ...   log   ...   log a   n   a   a   n  b   b   b   b         trong đó   1   2  ,   ,   ,...,   0,   1. n  a b   b   b   a      Ví dụ:     1   1  log   log   2   log   .2   log 1   0;  2   2                                   3   3   3   3   3  1   2   3   7   8  log   log   log   ...   log   log  2   3   4   8   9                3  1 2 3   7 8  log   .   .   .....   .  2 3 4   8 9                    3  1  log   2.  9       b. Lôgarit của một thương  Cho   1   2  ,   ,   0 a b   b      với   1, a      ta có:  1  1   2  2  log   log   log a   a   a  b   b   b  b             1  log   log a   a   b  b          0,   0 . a   b      Ví dụ:     5   5   5  125  log   log 125   log 25   3   2   1;  25                    7   7  1  log   log 49   2.  49        c. Lôgarit của một lũy thừa  Cho hai số dương   ,   , a b   1. a      Với mọi     , ta có:  log   log a   a  b   b          1  log   log n  a   a  b   b  n    Ví dụ:     3  2   2  log 8   3 log 8   3.3   9;            4  2   2  1   1   3  log   8   log 8   .3   .  4   4   4          4. Đổi cơ số  Cho   , ,   0;   1;   1, a b c   a   c          ta có:  Ví dụ:     2  8  2  log 16   4  log 16   ;  log 8   3     

Bài giảng lôgarit

Trang   1 Facebook :   https://www.facebook.com/nhatlinh.phan.1401/  S  u t  m và biên so  n:   Phan Nh  t Linh   Tài li  u luy  n thi đ  i h  c 2022  K    N     D  NG H      C   TR   1.   Ki  n t h  c c  n n  m   v  ng  N hư các b  n đã bi  t, phương pháp s    d  ng hàm đ  c trưng đ    gi  i bài toán VDC logarit thư  ng xuyên  xu  t hi  n trong đ    thi c  a BGD các năm g  n đây.     i v  i d  ng to     m    v    l ogarit th        t  ph    i     t.  C   c sinh c  n   n  m   v  ng     nh   l  : Cho h   (   ) f   x         u   tr  (   ) ; a b   .   N  u (   )   (   ) = f   u   f   v   v  (   )  ,   ; u v   a b  th      = u   v   .  N  u (   ) f   x     ng bi  n tr  (   ) ; a b   v  (   )  ,   ; u v   a b   th  (   )   (   )        f   u   f   v   u   v   .  N  u (   ) f   x   ngh  c h   bi  n tr  (   ) ; a b   v  (   )  ,   ; u v   a b   th  (   )   (   )        f   u   f   v   u   v   .  B  u  n:   Khi gi  i to      g  p nh  ng b  o  ho s  n h  (   ) f   x         u v   u th  c   h     c trư ng   d    t h  y. Tuy nhi       m  c       v  n d  ng   v   n d  ng   cao th    i kh    n     i      tr    th       c tr  (   )   (   ) = f   u   f   v   ho  c (   )   (   )  f   u   f   v   .  2.   V     minh h  a  V     1:   Cho các s    th  c x   , y   th  a mãn (   )          +  +   =   +  2   2   2  2   2   2   2  5   16.4   5   16   .7 x   y   x   y   y   x   . G  i M   và m   l  n lư  t là giá  tr    l  n nh  t và giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c + =   +   + +  10   6   26 2   2   5  x   y x   y P   . Tính =   + T   M   m   .  A . =   19 2  T   .   B . =   21 2  T   .   C . =   10 T   .   D . =   15 T   .  L  i   gi  i    t =    2   2 t   x   y   , khi đó gi    thi  t tương đương v  i (   )   +  +  +   + +   =   +      =  2   2 2 2   2  5   4   5   4 5   16.4   5   16   .7   .(1) 7   7  t   t t   t   t t   t  Xét hàm s  (   )             =   +                      1   4 5   7   7  u   u  f   u   trên   .  Hàm s  f   liên t  c tr    c      o h  (   )                =   +                         1   1   4   4 5   ln   ln   0 7   7   7   7  u   u  f   u   ,  t  Suy ra (   ) f   u   là hàm s    ngh  ch bi  n trên   .Trang   2 Facebook :   https://www.facebook.com/nhatlinh.phan.1401/  S  u t  m và biên so  n:   Phan Nh  t Linh   Tài li  u luy  n thi đ  i h  c 2022  Do đó (   )   (   )    +   =      +   =      =         =      =    2   2  (1)   2   2   2   2   2   2   2   2   2 f   t   f   t   t   t   t   x   y   y   x  Khi đó : +   + =   +   +  2 2  3   10   20 2   3  x   x P   x   x  Ta có (   )     = −              =      = − +   +      2 2 2  5 4   22   10   0   1 2   3   2  x x   x P   x x   x   . B  ng bi  n thiên  T     =   7 M   , =   5 2  m   nên +   =   19 2  M   m   .  V     2:   Cho x, y là các s    th  c tho    mãn (   )   (   ) +   =   + 2   2 3   4  log   log x   y   x   y   . T  p giá tr    c  a bi  u th  c =   + 3   3  P   x   y  ch  a bao nhiêu giá tr    nguyên   ?  A . 4   .   B . 5   .   C . 9   .   D .   Vô s  .  L  i   gi  i   i  u ki  n +      +    2   2  0;   0 x   y   x   y  Ta đ  t (   )   (   ) +   =   +   = 2   2 3   4  log   log x   y   x   y   t   .   Ta có ( )     +   =     +   =     2   2  3   1 4  t t  x   y x   y  Vì (   )   (   )   (   ) +      +                 2 2   2   2 9 4  2   3   2.4   log   2   0,85 t   t  x   y   x   y   t   .  Ta có (   )    +   =   +         =  2 2   2   9   4 2   . 2  t   t  x   y   x   y   xy   xy  Khi đó (   )   (   ) =   +   =   +      +  3 3   3   3 P   x   y   x   y   xy x   y ( )   =      = −   +   =  9   4   1   3 27   3.3 .   .27   .12 2   2   2  t   t t   t   t   t   f   t  Xét ( )   = −   +  1   3 .27   .12 2   2  t   t  f   t   v  i    9 4  log   2 t   có ( )    = −   +  1   3 .27 .ln 27   .12 .ln12 2   2  t   t  f   t ( )    =      =  1   3 0   .27 .ln 27   .12 .ln12 2   2  t   t  f   t ( )               =      =                         27 12  27   ln12   ln12 3.   log   3.   1,006 12   ln17   ln 27  t  t   l

Kỹ năng sử dụng hàm đặc trưng để giải bài toán VDC mũ – logarit

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 2  BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.  +   Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.  +   Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.     Kĩ năng  +   Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai  biểu thức chứa mũ và lôgarit.  +   Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.  +   Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Hàm số mũ    Hàm số       0;   1 x  y   a   a   a             a .  Tập xác định  Hàm số       0;   1 x  y   a   a   a          có tập xác định là      .    Hàm số       0;   1 x  y   a   a   a          có đạo hàm tại mọi   x .        '   ln x   x  a   a   a         '   ln   . ' u   u  a   a   a u       lim   0,   lim   1 ; x   x  x   x  a   a   a                   lim   ,   lim   0   0   1 . x   x  x   x  a   a   a                  Sự biến thiên     Khi   1 a      hàm số luôn đồng biến.     Khi   0   1 a       hàm số luôn nghịch biến.       Ox   và luôn đi qua các điểm            0;1 ,   1;   a   và nằm phía trên trục hoành.         '   e x   x  e      .TOANMATH.com   Trang 2  2. Hàm số lôgarit    Hàm số       log   0;   1 a y   x   a   a             a .  Tập xác định  Tập xác định:       0;    .    Hàm số       log   0;   1 a y   x   a   a          có đạo hàm tại mọi   x   dương và        1  log   '   ln  a   x   x   a     .  Giới hạn đặc biệt      0  lim log   ,   lim log   1 a   a  x x  x   x   a                ;      0  lim log   ,   lim log   0   1 a   a  x x  x   x   a                   .  Sự biến thiên     Khi   1 a      hàm số luôn đồng biến.     Khi   0   1 a       hàm số luôn nghịch biến.       Oy   và luôn đi qua các điểm            1;0 ,   ;1 a   và nằm bên phải trục tung.  Nhận xét:      x  y   a    và   log a y   x        0,   1 a   a         y   x    .    1.   Lãi đơn   là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính  trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước  không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì  hạn người gửi không đến rút tiền ra.  Công thức tính:   Khách hàng gửi vào ngân hàng   A        r   (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau  n kì hạn (   * n         ) là:       1 n S   A   nAr   A   nr            2.   Lãi kép   là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút  ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.           1  ln   ' x   x     .      1  log   ; n  r  S  n   A                   

Lũy thừa - mũ - logarit